Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k perbaikan pranala |
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. Meletakkan bagian ''Sejarah'' sebelum ''Definisi'', untuk lebih memperkenalkan perkembangan dan peran penting determinan, sebelum masuk ke bagian teoritis. |
||
Baris 16:
== Matriks persegi dimensi 2 ==
Determinan dari matriks ukuran
: <math>\det \begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>
Baris 46:
\ldots, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\1\end{pmatrix} = \mathbf{a}_n.
</math>Hal ini mengartikan {{math|''A''}} memetakan [[kubus]] dimensi-{{math|''n''}} menjadi [[balok jajar genjang]] dimensi-{{math|''n''}} dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> dengan domain <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>Nilai determinan menyatakan volume dimensi-{{math|''n''}} bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-{{math|''n''}} akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh {{math|''A''}}.<ref>{{
== Sejarah ==
Dari sisi sejarah, determinan sudah digunakan sebelum konsep matriks muncul. Determinan awalnya dianggap sebagai salah satu sifat dari [[sistem persamaan linear]] untuk menentukan (''determines'') apakah sistem tersebut memiliki solusi yang unik (yang hanya terjadi ketika determinan bernilai tak-nol). Dalam konteks ini, determinan pertama kali digunakan dalam buku teks China ''[[Jiuzhang Suanshu]]'' sekitar abad ke-3 SM. Di Eropa, solusi dari sistem linear dua persamaan dapat dinyatakan dengan objek mirip-determinan oleh [[Gerolamo Cardano|Cardano]] pada tahun 1545.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|2003|loc=§6.6}}</ref>
Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya [[Seki Takakazu]] di Jepang pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693.<ref>{{Cite book|last=Cajori|first=Florian|date=1919|url=http://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|title=A history of mathematics|publisher=New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd.|others=unknown library}}</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{harvnb|Eves|1990|p=405}}</ref><ref>{{Cite web|date=2012-09-10|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|website=web.archive.org|access-date=2023-11-27}}</ref> {{harvtxt|Cramer|1750}} menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|p=80}}</ref> Cramer dan {{harvtxt|Bezout|1779}} mempelajari determinan karena hubungannya dengan [[Lengkung bidang|kurva pada bidang]] yang melewati suatu himpunan titik.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|p=59}}</ref>
[[Vandermonde]] (1771) adalah yang pertama menganggap determinan sebagai suatu fungsi tersendiri.<ref name="Campbell" /> {{harvtxt|Laplace|1772}} menyusun metode umum untuk menjabarkan determinan matriks dengan menggunakan komplemen dari [[Minor (aljabar linear)|minor-minornya]]; dengan kasus khusus metode ini sudah dibuat oleh Vandermonde<ref>Muir, Sir Thomas, ''The Theory of Determinants in the historical Order of Development'' [London, England: Macmillan and Co., Ltd., 1906].</ref> Langsung setelah itu, [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] (1773) meneliti determinan orde kedua dan ketiga dan menerapkannya pada pertanyaan-pertanyaan terkait [[teori eliminasi]], nama lawas bagi pendekatan algoritmik untuk menghilangkan beberapa variabel pada beberapa polinomial multivariabel.
Perkembangan besar selanjutnya dibuat oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pada tahun 1801. Seperti Lagrange, ia banyak menggunakan determinan dalam [[teori bilangan]]. Ia juga memperkenalkan istilah "determinant" (Laplace menggunakan istilah "resultant") walau tidak dapat pemahaman modern, namun sebagai [[diskriminan]] dari [[polinomial homogen]].<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|loc=§5.2}}</ref> Gauss juga mengembangkan konsep kebalikan (invers) dari determinan.
Selanjutnya pada tahun 1811-1812,[[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] menyatakan secara formal teorema terkait perkalian dua matriks dengan <math>m</math> kolom dan <math>n</math> baris, yang pada kasus khusus <math>m=n=1</math> tereduksi menjadi teorema perkalian bilangan. Pada hari yang sama (30 November 1812) Binet mempresentasikan karyanya ke Akademi, [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] juga mempresentasikan karyanya dengan topik serupa. (lihat [[rumus Cauchy–Binet]].) Dalam karya ini Cauchy menggunakan istilah "determinan" dalam pengertian saat ini,<ref>Penggunaan istilah "determinan" dalam sudut pandang modern muncul di Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variables qu'elles renferment," yang pertama kali dibacakan di ''Institute de France'' di Paris pada 30 November 1812, dan selanjutnya dipublikasikan dalam ''Journal de l'Ecole Polytechnique'', Cahier 17, Tome 10, pages 29–112 (1815).</ref><ref>{{Cite web|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D)|url=https://jeff560.tripod.com/d.html|website=jeff560.tripod.com|access-date=2023-11-27}}</ref> merangkum dan menyederhanakan hal-hal yang telah diketahui, memperbaiki notasi, dan memberikan bukti teorema perkalian yang lebih memuaskan ketimbang Binet.<ref name="Campbell" /><ref>{{Cite web|title=Matrices and determinants|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/|website=Maths History|language=en|access-date=2023-11-27}}</ref> Hal ini yang memulai teori terkait determinan secara umum.
{{harvtxt|Jacobi|1841}} mengembangkan determinan fungsional yang selanjutnya oleh Sylvester disebut [[matriks Jacobi]].<ref>{{harvnb|Eves|1990|p=494}}</ref> {{harvnb|Cayley|1841}} memperkenalkan notasi modern untuk determinan, yang menggunakan dua bar tegak.<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Vol. II, p. 92, no. 462}}</ref><ref>{{Cite web|title=Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors|url=https://jeff560.tripod.com/matrices.html|website=jeff560.tripod.com|access-date=2023-11-27}}</ref> Penelitian terkait bentuk-bentuk khusus dari determinan selanjutnya muncul secara alami sebagai akibat dari teori umum yang sudah lengkap.
== Definisi ==
Baris 157 ⟶ 170:
=== Matriks blok ===
Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat faktorisasi dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.
Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika <math>C</math> dan <math>D</math> komutatif (artinya <math>CD=DC</math>), maka<ref>{{Cite journal|last=Silvester|first=J. R.|year=2000|title=Determinants of Block Matrices|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|journal=Math. Gaz.|volume=84|issue=501|pages=460–467|doi=10.2307/3620776|jstor=3620776|archive-url=https://web.archive.org/web/20220816084225/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|archive-date=2022-08-16|s2cid=41879675}}</ref> <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math>Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari <math>2 \times 2</math> submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|date=January 2017|title=Determinants of block matrices with noncommuting blocks|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=512|pages=202–218|arxiv=1805.06027|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|s2cid=119272194}}</ref>
== Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya ==
=== Nilai eigen dan polinomial karakteristik ===
Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni [[nilai eigen]] dan [[polinomial karakteristik]] dari matriks. Misalkan <math>A</math> adalah matriks ukuran <math>n \times n</math> dengan elemen berupa [[bilangan kompleks]]. Dengan menggunakan [[teorema dasar aljabar]], disimpulkan <math>A</math> pasti memiliki tepat <math>n</math> nilai eigen <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> (dalam konteks ini, nilai eigen dengan [[Nilai dan vektor eigen#Kegandaan aljabar|kegandaan aljabar]] <math>\mu</math> muncul <math>\mu</math> kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari <math>A</math> ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini,<math display="block">\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks <math>A</math> memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika <math>0</math> bukan nilai eigen dari <math>A</math>.
Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VIII.2}}, {{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=Def. 1.2.3}}</ref><math display="block">\chi_A(t) = \det(t \cdot I - A),</math>dengan <math>t</math> merupakan variabel (lebih tepatnya ''indeterminate'') dari polinomial, dan <math>I</math> adalah matriks identitas berukuran sama dengan <math>A</math>. Polinomial ini selanjut memiliki [[Akar fungsi|akar]] berupa nilai-nilai eigen dari <math>A</math>; yakni bilangan-bilangan kompleks <math>\lambda</math> yang memenuhi <math>\chi_A(\lambda) = 0.</math>
=== Teras ===
[[Teras (aljabar linear)|Teras]] (''trace'') dari matriks <math>A</math>, dinotasikan dengan <math>\operatorname{tr}(A)</math>, didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal <math>A</math>, dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks <math>A</math>, berlaku <math display="block">\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))</math>atau ekuivalen untuk matriks real <math>A</math>, berlaku hubungan <math>\operatorname{tr}(A) = \log(\det(\exp(A))).</math> Disini, notasi <math>\operatorname{exp}(A)</math> menyatakan [[perpangkatan matriks]] <math>A</math>, mengingat setiap nilai eigen <math>\lambda</math> dari <math>A</math> berkorespodensi dengan nilai eigen <math>\operatorname{exp}(\lambda)</math> dari <math>\operatorname{exp}(A)</math>. Secara khusus, untuk sebarang [[Logaritma matriks|logaritma]] dari <math>A</math>, dengan kata lain sebarang matriks <math>L</math> yang memenuhi <math>\exp(L) = A</math>, determinan dari <math>A</math> memiliki hubungan
: <math>\det(A) = \exp(\operatorname{tr}(L)).</math>
Sebagai contoh, untuk {{math|1=''n'' = 2}}, {{math|1=''n'' = 3}}, dan {{math|1=''n'' = 4}}, secara berurutan akan berlaku,
: <math>\begin{align}
\det(A) &= \frac{1}{2}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^2 - \operatorname{tr}\left(A^2\right)\right), \\
\det(A) &= \frac{1}{6}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^3 - 3\operatorname{tr}(A) ~ \operatorname{tr}\left(A^2\right) + 2 \operatorname{tr}\left(A^3\right)\right), \\
\det(A) &= \frac{1}{24}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^4 - 6\operatorname{tr}\left(A^2\right)\left(\operatorname{tr}(A)\right)^2 + 3\left(\operatorname{tr}\left(A^2\right)\right)^2 + 8\operatorname{tr}\left(A^3\right)~\operatorname{tr}(A) - 6\operatorname{tr}\left(A^4\right)\right).
\end{align}</math>
=== Batas atas dan batas bawah ===
Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk logaritma dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].
=== Turunan ===
Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan real (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari <math>\R^{n \times n}</math> ke <math>\R</math>. Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan [[rumus Jacobi]]:<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§ 0.8.10}}</ref><math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>dengan <math>\operatorname{adj}(A)</math> menyatakan [[Matriks adjugat|adjugat]] dari <math>A</math>. Khususnya ketika <math>A</math> memiliki invers, terdapat hubungan <math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \det(A) \operatorname{tr}\left(A^{-1} \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>
== Penerapan ==
=== Aturan Cramer ===
Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari [[sistem persamaan linear]], yang dinyatakan sebagai <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik <math>\mathbf x</math> jika dan hanya jika <math>\det (A)</math> tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan [[aturan Cramer]]: <math display="block">x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, 2, 3, \ldots, n</math>dengan <math>A_i</math> adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke-<math>i</math> matriks <math>A</math> dengan vektor <math>\mathbf b</math>. Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:
: <math>\det(A_i) =
\det\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \ldots & \mathbf{b} & \ldots & \mathbf{a}_n\end{bmatrix} =
\sum_{j=1}^n x_j\det\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \ldots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{a}_j & \mathbf{a}_{i+1} & \ldots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} =
x_i\det(A)
</math>
dengan <math>\mathbf{a}_j</math> adalah vektor kolom ke-<math>j</math> dari <math>A</math>. Aturan ini juga dapat dihasilkan dari identitas <math>A\, \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\, A = \det(A)\, I_n.</math>
Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu <math>\operatorname O(n^3)</math>, yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti dekomposisi [[Dekomposisi LU|LU]], [[Dekomposisi QR|QR]], dan [[Penguraian nilai singular|SVD]].<ref>{{harvnb|Habgood|Arel|2012}}</ref>
== Catatan kaki ==
<references responsive="" />
== Referensi ==
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
* {{citation|first=Erwin|last=Bareiss|title=Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination|pages=565–578|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20121025053848/http://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-date=2012-10-25|url-status=live|journal=Mathematics of Computation|year=1968|volume=22|issue=102|doi=10.2307/2004533|jstor=2004533}}
* {{Citation|last1=de Boor|first1=Carl|author1-link=Carl R. de Boor|title=An empty exercise|url=http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|doi=10.1145/122272.122273|year=1990|journal=ACM SIGNUM Newsletter|volume=25|issue=2|pages=3–7|archive-url=https://web.archive.org/web/20060901214854/http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|archive-date=2006-09-01|url-status=live|s2cid=62780452}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=Algebra I, Chapters 1-3|isbn=9783540642435|publisher=Springer|year=1998}}
* {{cite journal|last1=Bunch|first1=J. R.|last2=Hopcroft|first2=J. E.|year=1974|title=Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=28|issue=125|pages=231–236|doi=10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8|doi-access=free}}
* {{Citation|title=Abstract algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|date=2004|publisher=Wiley|isbn=9780471452348|edition=3rd|location=Hoboken, NJ|oclc=248917264}}
* {{Citation|last1=Fisikopoulos|journal=[[Computational Geometry (journal)|Computational Geometry]]|volume=54|year=2016|pages=1–16|title=Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation|first1=Vissarion|first2=Luis|last2=Peñaranda|doi=10.1016/j.comgeo.2015.12.001|doi-access=free}}
* {{Citation|last1=Garibaldi|first1=Skip|title=The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions|journal=American Mathematical Monthly|volume=111|year=2004|issue=9|pages=761–778|mr=2104048|doi=10.2307/4145188|jstor=4145188|arxiv=math/0203276}}
* {{Cite journal|last1=Habgood|first1=Ken|last2=Arel|first2=Itamar|year=2012|title=A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf|journal=Journal of Discrete Algorithms|volume=10|pages=98–109|doi=10.1016/j.jda.2011.06.007|archive-url=https://web.archive.org/web/20190505060158/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf|archive-date=2019-05-05|url-status=live|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Harris|first=Frank E.|year=2014|title=Mathematics for Physical Science and Engineering|publisher=Elsevier|isbn=9780128010495}}
* {{Citation|last=Kleiner|first=Israel|editor1-first=Israel|editor1-last=Kleiner|title=A history of abstract algebra|year=2007|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4684-4|mr=2347309|doi=10.1007/978-0-8176-4685-1}}
* {{Citation|first1=Joseph P.S.|last1=Kung|first2=Gian-Carlo|last2=Rota|first3=Catherine|last3=Yan|author3-link=Catherine H. Yan|title=[[Combinatorics: The Rota Way]]|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=9780521883894}}
* {{Citation
| last = Lay
Baris 176 ⟶ 243:
| isbn = 978-0-321-28713-7
}}
* {{Citation|last1=Lombardi|first1=Henri|last2=Quitté|first2=Claude|title=Commutative Algebra: Constructive Methods|year=2015|isbn=9789401799447|publisher=Springer}}
* {{Citation|last=Mac Lane|first=Saunders|title=Categories for the Working Mathematician|year=1998|series=Graduate Texts in Mathematics '''5'''|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-98403-8|author-link=Saunders Mac Lane|title-link=Categories for the Working Mathematician}}
* {{Citation |last = Meyer
|first = Carl D.
|date = February 15, 2001
Baris 184 ⟶ 252:
|isbn = 978-0-89871-454-8
|url = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|archive-date=2009-10-31}}
* {{citation | last=Muir | first=Thomas | title=A treatise on the theory of determinants | others=Revised and enlarged by William H. Metzler | year=1960 | publisher=Dover | location=New York, NY |author-link=Thomas Muir (mathematician)|orig-year=1933}}
* {{Citation
| last = Poole
Baris 200 ⟶ 264:
}}
* [[G. Baley Price]] (1947) "Some identities in the theory of determinants", [[American Mathematical Monthly]] 54:75–90 {{mr|id=0019078}}
* {{Cite book|last1=Horn|first1=Roger Alan|last2=Johnson|first2=Charles Royal|year=2018|title=Matrix Analysis|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-54823-6|edition=2nd|author-link=Roger Horn|author-link2=Charles Royal Johnson|orig-year=1985}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Introduction to Linear Algebra|edition=2|year=1985|publisher=Springer|isbn=9780387962054|series=Undergraduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Linear Algebra|edition=3|year=1987|publisher=Springer|isbn=9780387964126|series=Undergraduate Texts in Mathematics}}
* {{cite book|last1=Lang|first1=Serge|date=2002|title=Algebra|location=New York, NY|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|series=Graduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation
| last = Leon
Baris 227 ⟶ 276:
| edition = 7th
}}
* {{Citation|last1=Rote|first1=Günter|chapter=Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches|title=Computational discrete mathematics|series=Lecture Notes in Comput. Sci.|volume=2122|pages=119–135|publisher=Springer|year=2001|mr=1911585|doi=10.1007/3-540-45506-X_9|isbn=978-3-540-42775-9|doi-access=free|chapter-url=https://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Division-free+algorithms.pdf|access-date=2020-06-04|archive-date=2007-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20070201145100/http://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Division-free+algorithms.pdf|url-status=dead}}
* {{Citation|last1=Trefethen|first1=Lloyd|last2=Bau III|first2=David|location=Philadelphia|isbn=978-0-89871-361-9|year=1997|title=Numerical Linear Algebra|publisher=SIAM|edition=1st}}
=== Referensi sejarah ===
* {{Citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of the history of mathematics|translator-first=John|translator=Meldrum|publisher=Springer|year=1994|isbn=3-540-19376-6|doi=10.1007/978-3-642-61693-8}}
* {{Citation|last=Cajori|first=Florian|title=A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals|publisher=Dover|year=1993|isbn=0-486-67766-4|mr=3363427}}
* {{Citation|last=Bezout|first=Étienne|year=1779|location=Paris|title=Théorie générale des equations algébriques|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k106053p.image}}
* {{Citation|last=Cayley|first=Arthur|title=On a theorem in the geometry of position|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=2|pages=267–271|year=1841}}
* {{Citation|last=Cramer|first=Gabriel|title=Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques|year=1750|doi=10.3931/e-rara-4048|location=Genève|publisher=Frères Cramer & Cl. Philibert}}
* {{Citation|last=Eves|first=Howard|title=An introduction to the history of mathematics|edition=6|publisher=Saunders College Publishing|year=1990|isbn=0-03-029558-0|mr=1104435}}
* {{Citation|editor1-last=Grattan-Guinness|editor1-first=I.|title=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences|volume=1|year=2003|isbn=9780801873966|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]}}
* {{Citation|last1=Jacobi|first1=Carl Gustav Jakob|author1-link=Carl Gustav Jakob Jacobi|title=De Determinantibus functionalibus|url=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002142724&physid=phys325#navi|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|year=1841|volume=1841|issue=22|pages=320–359|doi=10.1515/crll.1841.22.319|s2cid=123637858}}
* {{Citation|last=Laplace|first=Pierre-Simon, de|author-link=Pierre-Simon Laplace|title=Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde|journal=Histoire de l'Académie Royale des Sciences|location=Paris|year=1772|issue=seconde partie|pages=267–376|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77596b/f374}}
[[Kategori:Matriks]]
| |||