Barisan Fibonacci: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
→Identitas lain: Merapikan terjemahan |
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:Fibonacci_sequence (oldid 1245636428); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 1:
{{Short description|Barisan dengan setiap sukunya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya}}[[File:Fibonacci Squares.svg|thumb|Pengubinan dengan [[Persegi|persegi-persegi]] yang panjang sisi-sisinya adalah beberapa suku pertama barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 dan 21.]]Dalam [[matematika]], '''barisan Fibonacci''' adalah [[barisan]] yang setiap sukunya merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya. Bilangan yang menjadi bagian dari barisan Fibonacci dikenal sebagai '''bilangan Fibonacci''', umumnya dinotasikan sebagai {{nowrap|{{math|''F<sub>n</sub>''}}{{space|hair}}}}. Barisan ini umumnya dimulai dari 0 dan 1, walau beberapa penulis memulainya dari 1 dan 1, atau terkadang (seperti Fibonacci sendiri) dari 1 dan 2. Memulai dari 0 dan 1, beberapa suku pertama barisan ini adalah<ref name="oeis">{{Cite OEIS|A000045|2=Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1|mode=cs2}}</ref>
: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Baris 77 ⟶ 76:
Nama "barisan Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 [[Édouard Lucas]].<ref>{{Citation|first=Martin|last=Gardner|author-link=Martin Gardner|title=Mathematical Circus|publisher=The Mathematical Association of America|year=1996|isbn=978-0-88385-506-5|quote=It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci|page=153}}</ref>
▲== Relasi terhadap rasio emas ==
{{Main|Rasio emas}}
Baris 115 ⟶ 112:
=== Identifikasi ===
Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif <math>x</math> merupakan bilangan Fibonacci [[jika dan hanya jika]] setidaknya salah satu dari <math>5x^2+4</math> atau <math>5x^2-4</math> merupakan [[Bilangan persegi|kuadrat sempurna]].<ref>{{Citation|title=Fibonacci is a Square|last1=Gessel|first1=Ira|journal=[[The Fibonacci Quarterly]]|volume=10|issue=4|pages=417–19|date=October 1972|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/10-4/advanced10-4.pdf|access-date=April 11, 2012}}</ref> Hal ini dapat terlihat mengalikan rumus Binet, yang dituliskan sebagai <math>F_n = (\varphi^n - (-1)^n \varphi^{-n}) / \sqrt{5}</math>, dengan <math>\sqrt{5} \varphi^n</math> lalu diselesaikan sebagai [[persamaan kuadrat]] dalam <math>\varphi^n</math> menggunakan [[Rumus kuadrat|rumus kuadratik]], menghasilkan:<math display="block">\varphi^n = \frac{F_n\sqrt{5} \pm \sqrt{5{F_n}^2 + 4(-1)^n}}{2}.</math>Membandingkan bentuk ini dengan <math>\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1} = (F_n\sqrt{5} + F_n + 2 F_{n-1})/2</math> didapatkan<math display="block">5{F_n}^2 + 4(-1)^n = (F_n + 2F_{n-1})^2\,.</math>yang menunjukkan ruas sisi kiri merupakan bilangan kuadrat sempurna.
== Identitas kombinatorial ==
=== Bukti kombinatorial ===
Banyak identitas terkait bilangan Fibonacci yang dapat dibuktikan menggunakan argumen kombinatorial, menggunakan fakta bahwa <math>F_n</math> dapat dianggap sebagai banyaknya (mungkin kosong) barisan berisi angka 1 dan 2 dengan jumlah total <math>n-1.</math> Hal ini dapat dipilih sebagai definisi dari <math>F_n</math>, dengan konvensi <math>F_0 = 0</math> yang mengartikan tidak ada barisan macam itu dengan total −1, dan <math>F_1 = 1</math> yang mengartikan ada satu barisan -- yakni barisan dengan panjang 0 -- dengan total 0. Menggunakan notasi <math>|{...}|</math> untuk menyatakan [[kardinalitas]] dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]], berikut beberapa bilangan Fibonacci pertama:
: <math>F_0 = 0 = |\{\}|</math>
: <math>F_1 = 1 = |\{()\}|</math>
: <math>F_2 = 1 = |\{(1)\}|</math>
: <math>F_3 = 2 = |\{(1,1),(2)\}|</math>
: <math>F_4 = 3 = |\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|</math>
: <math>F_5 = 5 = |\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|</math>
Dalam sudut pandang ini, hubungan perulangan <math display="inline">F_n = F_{n-1} + F_{n-2}</math> dapat dianggap sebagai memisahkan barisan-barisan penyusun <math>F_n</math> menjadi dua himpunan tidak-beririsan, yang masing-masing dimulai dari angka 1 atau 2:<math display="block">F_n = |\{(1,...),(1,...),...\}| + |\{(2,...),(2,...),...\}|</math>Mengabaikan suku pertama, jumlah total setiap suku barisan pada kedua himpunan tersebut masing-masing adalah <math>n-2</math> dan <math>n-3</math>. Nilai ini adalah kardinalitas dari <math>F_{n-1}</math> dan <math>F_{n-2}</math>, menunjukkan bahwa memang <math display="inline">F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.</math>
Dengan cara yang mirip, dapat ditunjukkan bahwa jumlah dari <math>n</math> bilangan Fibonacci pertama sama dengan bilangan Fibonacci ke-<math>(n+2)</math> dikurang 1.{{Sfn|Lucas|1891|p=4}} Secara matematis:<math display="block">\sum_{i=1}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>Identitas ini dapat dilihat sebagai memisahkan setiap barisan dengan total <math>n+1</math> berdasarkan letak angka 2 pertamanya. Hal ini akan menghasilkan himpunan-himpunan berisi barisan yang dimulai dengan suku <math>(2,...), (1,2,...), ..., </math> sampai dua himpunan terakhir <math>\{(1,1,...,1,2)\}</math> dan <math>\{(1,1,...,1)\}</math> yang masing-masing memiliki kardinalitas 1. Menggunakan logika yang sama seperti sebelumnya, dengan menghitung kardinalitas setiap himpunan yang dihasilkan kita dapatkan<math display="block">F_{n+2} = F_n + F_{n-1} + ... + |\{(1,1,...,1,2)\}| + |\{(1,1,...,1)\}|</math>dengan dua himpunan terakhir memiliki nilai <math>F_1 = 1</math>. Hubungan ini dapat ditulis sebagai <math display="inline">F_{n+2} = \sum_{i=1}^n F_n + 1</math>, yang sama dengan identitas tersebut.
Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru:<math display="block">\sum_{i=0}^{n-1} F_{2 i+1} = F_{2 n}</math> dan<math display="block">\sum_{i=1}^{n} F_{2 i} = F_{2 n+1}-1.</math>Dalam bentuk kalimat, jumlah dari <math>n-1</math> bilangan Fibonacci berindeks-ganjil pertama adalah bilangan Fibonacci ke-<math>2n</math>, dan jumlah dari <math>n</math> bilangan Fibonacci berindeks-genap pertama adalah bilangan Fibonacci ke-<math>(2n+1)</math> dikurang 1.<ref>{{Citation|title=Fibonacci Numbers|last1=Vorobiev|first1=Nikolaĭ Nikolaevich|first2=Mircea|last2=Martin|publisher=Birkhäuser|year=2002|isbn=978-3-7643-6135-8|chapter=Chapter 1|pages=5–6}}</ref>
[[Berkas:Fibonacci_Squares.svg|ka|nirbing|260x260px]]
Trik yang berbeda dapat digunakan untuk membuktikan<math display="block">\sum_{i=1}^n F_i^2 = F_n F_{n+1}</math>atau secara kalimat, jumlah dari kuadrat <math>n</math> bilangan Fibonacci pertama sama dengan hasil perkalian bilangan Fibonnaci ke-<math>n</math> dan ke-<math>(n+1).</math> Untuk melihat hubungan ini, mulai dengan membuat persegi panjang berukuran <math>F_n \times F_{n+1}</math> dan bagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi <math>F_n, F_{n-1}, ..., F_1</math>; identitas terbukti dengan membandingkan luas keduanya.
== Identitas lain ==
| |||