Hukum Stefan–Boltzmann: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
NikolasKHF (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
NikolasKHF (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 20:
Penurunan hukum dari pertimbangan teoritis dipresentasikan oleh [[Ludwig Boltzmann]] (1844–1906) pada tahun 1884, ditulis berdasarkan karya [[Adolfo Bartoli]].<ref>{{Harvnb|Boltzmann|1884}}</ref> Bartoli pada 1876 menurunkan keadaan [[tekanan radiasi]] dari prinsip [[termodinamika]]. Setelah Bartoli, Boltzmann mempelajari sebuat [[mesin kalor]] ideal menggunakan radiasi elektromagnetisme sebagai zat penggerak, dibandingkan dengan [[gas ideal]].
Hukum ini hampir langsung diverifikasi secara eksperimentasi. [[Heinrich Friedrich Weber|Heinrich Weber]] pada 1888 menunjukkan turunan pada suhu lebih tinggi, tapi akurasi dalam ketidakpastian pengukuran mengonfirmasi suhu hingga {{convert|1535|K|C|2}} pada 1897.{{sfn|Badino|2015|31}} Hukum ini, termasuk pada prediksi [[konstanta Stefan–Boltzmann]] sebagai fungsi terhadap [[laju cahaya]], [[konstanta Boltzmann]], dan [[konstanta Planck]], adalah [[#Penurunan dari hukum Planck|konsekuensi langsung]] terhadap [[hukum Planck]] yang diformulasikan pada 1900.
== Konstanta Stefan–Boltzmann ==
Baris 63:
|[[Kalori|cal]]⋅[[Sentimeter|cm]]<sup>−2</sup>⋅[[Hari|day]]<sup>−1</sup>⋅[[Kelvin|K]]<sup>−4</sup>
|}
== Asal-usul ==
=== Penurunan termodinamika dari kepadatan energi ===
Fakta bahwa [[kepadatan energi]] dari suatu wadah yang menampung radiasi proporsional dengan <math>T^{4}</math> dapat diturunkan dengan termodinamika.<ref>{{Cite web|url=http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf |title=Derivation of the Stefan–Boltzmann Law |last=Knizhnik |first=Kalman |website=Johns Hopkins University – Department of Physics & Astronomy |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304133636/http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf |archive-date={{date|2016-03-04}} |url-status=dead|access-date={{date|2018-09-03}} }}</ref><ref name=wisniak2002/> Penurunan ini menggunakan hubungan antara [[tekanan radiasi]] <math>p</math> dan kepadatan [[energi dalam]] <math>u</math>, sebuah hubungan yang dapat diperlihatkan dengan menggunakan bentuk [[tensor tegangan–energi elektromagnetik]]. Hubungan ini dapat ditulis sebagai:
<math display="block">p = \frac{u}{3}</math>.
Sekarang, dari [[relasi fundamental termodinamika]]
<math display="block"> dU = T \, dS - p \, dV, </math>
kita mendapatkan ekspresi berikut, setelah membagi <math> dV </math> dan menetapkan <math> T </math>:
<math display="block"> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p. </math>
Persamaan terakhir muncul oleh karena [[relasi Maxwell]]:
<math display="block"> \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V. </math>
Dari definisi kepadatan energi, maka:
<math display="block"> U = u V </math>
dengan kepadatan energi dari radiasi hanya bergantung pada suhu, maka:
<math display="block"> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = u \left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T = u. </math>
Sekarang, persamaannya menjadi:
<math display="block"> u = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p, </math>
setelah substitusi <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}.</math>
Sementara itu, tekanan adalah laju perubahan momentum per satuan luas. Karena momentum dari foton bernilai sama dengan energi yang dibagi oleh kelajuan cahaya,
<math display="block"> u = \frac{T}{3} \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V - \frac{u}{3}, </math>
dengan faktor 1/3 muncul dari proyeksi transfer momentum ke arah normal dinding wadah.
Karena [[turunan parsial]] <math> \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V </math> dapat diekspresikan sebagai hubungan antara <math>u</math> dan <math>T</math> (jika mereka diletakkan pada satu sisi persamaan), turunan parsial tersebut dapat diubah menjadi turunan biasa. Setelah memisahkan turuan, persamaan tersbeut menjadi
<math display="block"> \frac{du}{4u} = \frac{dT}{T}, </math>
yang menghasilkan <math> u = A T^4 </math>, dengan <math> A </math> sebagai konstanta integrasi.
=== Penurunan dari hukum Planck ===
[[File:Stefan-Boltzmann_Law.png|thumb|Menurunkan hukum Stefan–Boltzmann menggunakan [[hukum Planck]].]]
Hukum Stefan–Boltzmann dapat diturunkan dengan mempertimbangkan permukaan [[benda hitam]] datar kecil yang mengeluarkan radiasi ke sebuah setengah bola. Penurunan ini menggunakan [[sistem koordinat bola]], dengan <math>\theta</math> sebagai sudut [[zenit]] dan <math>\varphi</math> sebagai sudut [[azimut]]; dan permukaan benda hitam datar kecil berada pada bidang xy, dengan <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math>.
Intensitas cahaya yang dipancarkan dari permukaan benda hitam tersebut diberikan oleh [[hukum Planck]]:
<math display="block">I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^3}{c^2}\frac{1}{ e^{h\nu/(kT)}-1},</math>
dengan
* <math>I(\nu,T)</math> adalah jumlah [[daya]] per satuan [[luas permukaan]] per satuan {{ill|sudut padat|en|solid angle}} per satuan [[frekuensi]] yang dipancarkan di frekuensi <math>\nu</math> oleh benda hitam di suhu <math>T</math>
* <math>h </math> adalah [[konstanta Planck]]
* <math>c </math> adalah [[kelajuan cahaya]], dan
* <math>k </math> adalah [[konstanta Boltzmann]].
Kuantitas <math>I(\nu,T) ~A \cos \theta ~d\nu ~d\Omega</math> adalah daya yang diradiasikan oleh luas permukaan <math>A</math> melalui sudut padat <math>d\Omega</math> pada frekuensi antara <math>\nu</math> dan <math>\nu + d\nu</math>.
Hukum Stefan–Boltzmann memberikan daya yang dipancarkan per satuan luas dari benda pemancar:
<math display="block">\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \cos \theta \, d\Omega </math>
Catatan: kosinus muncul karena benda hitam adalah ''Lambertian'' (mereka mematuhi [[hukum kosinus Lambert]]), yang berarti intensitas yang diamati melalui bola adalah intensitas nyata dikali dengan kosinus dari sudut zenit.
Untuk menurunkan hukum Stefan–Boltzmann, kita perlu mengintegrasikan <math display="inline">d\Omega = \sin \theta\, d\theta \, d\varphi</math> terhadap setengah bola dan mengintegrasikan <math>\nu</math> dari 0 hingga ∞.
<math display="block">
\begin{align}
\frac{P}{A} & = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int_0^{2\pi} \, d\varphi \int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta \\
& = \pi \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu
\end{align}
</math>
Lalu kita masukkan <math>I</math>:
<math display="block">\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \, d\nu </math>
Untuk mengevaluasi integral, lalukan substitusi:
<math display="block">
\begin{align}
u & = \frac{h \nu}{k T} \\[6pt]
du & = \frac{h}{k T} \, d\nu
\end{align}
</math>
yang menghasilkan:
<math display="block">\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h }{c^2} \left(\frac{k T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du .</math>
Integral di kanan adalah standar dan memiliki banyak nama: [[polilogaritme]] atau [[fungsi zeta Riemann]] <math>\zeta(s)</math>. Nilai dari integral tersebut adalah <math> \Gamma(4)\zeta(4) = \frac{\pi^4}{15} </math> (dengan <math>\Gamma(s)</math> adlaah [[fungsi gamma]]), yang menghasilkan persamaan berikut untuk permukaan benda hitam sempurna:
<math display="block">M^\circ
= \sigma T^4 ~, ~~
\sigma = \frac{2 \pi^5 k^4 }{15 c^2 h^3}
= \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}. </math>
Akhirnya, pembuktian ini dimulai hanya mempertimbangkan permukaan datar kecil. Namun, permukaan [[Lipatan terdiferensialkan|yang dapat didiferensialkan]] dapat dikira dengan koleksi permukaan datar kecil. Selama geometri dari permukaan tidak membuat benda hitam menyerap kembali radiasinya sendiri, total energi yang dipancarkan adalah jumlah dari energi yang dipancarkan oleh masing-masing permukaan; dan total luas permukaan hanyalah penjumlahan dari luas masing-masing permukaan. Jadi, hukum ini juga berlaku untuk benda hitam [[Himpunan cembung|cembung]], selama permukaannya memiliki suhu yang sama. Hukum ini diperluas hingga radiasi dari benda noncembung dengan menggunakan fakta bahwa [[selubung cembung]] darn benda hitam memancarkan radiasi walaupun dirinya adalah benda hitam.
=== Kepadatan Energi ===
Total kepadatan energi <math>U</math> juga dapat dihitung dengan cara yang mirip, tapi integrasinya sepanjang seluruh bola dan tidak ada kosinus, dan fluks energi (<math>U\,c</math>) harus dibagi dengan kecepatan <math>c</math> untuk memberikan kepadatan energi <math>U</math>:
<math display="block">U = \frac{1}{c} \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int \, d\Omega </math>
Maka, <math display="inline">\int_0^{\pi/2} \cos \theta \sin \theta \, d\theta </math> digantikan oleh <math display="inline"> \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta </math>, menghasilkan tambahan faktor 4.
Maka, totalnya:
<math display="block">U = \frac{4}{c} \, \sigma \, T^4 </math>
Faktor <math>\frac{4}{c} \sigma</math> kadang dikenal sebagai '''konstanta radiasi''' atau '''konstanta kepadatan radiasi'''.<ref>{{Cite book |last1=Lemons |first1=Don S. |url=https://books.google.com/books?id=i0pTEAAAQBAJ |title=On the Trail of Blackbody Radiation: Max Planck and the Physics of his Era |last2=Shanahan |first2=William R. |last3=Buchholtz |first3=Louis J. |date={{date|2022-09-13}} |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-37038-7 |pages=38 |language=en}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Campana |first1=S. |last2=Mangano |first2=V. |last3=Blustin |first3=A. J. |last4=Brown |first4=P. |last5=Burrows |first5=D. N. |last6=Chincarini |first6=G. |last7=Cummings |first7=J. R. |last8=Cusumano |first8=G. |last9=Valle |first9=M. Della |last10=Malesani |first10=D. |last11=Mészáros |first11=P. |last12=Nousek |first12=J. A. |last13=Page |first13=M. |last14=Sakamoto |first14=T. |last15=Waxman |first15=E. |date=Augustus 2006 |title=The association of GRB 060218 with a supernova and the evolution of the shock wave |journal=Nature |language=en |volume=442 |issue=7106 |pages=1008–1010 |doi=10.1038/nature04892 |pmid=16943830 |arxiv=astro-ph/0603279 |bibcode=2006Natur.442.1008C |s2cid=119357877 |issn=0028-0836}}</ref>
== Referensi ==
| |||