Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Penggantian teks otomatis (-dirubah +diubah) |
k Bot: Perubahan kosmetika |
||
Baris 32:
Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena <math>v_n \subset V</math> , kita dapat menggunakan <math> v_n </math> sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat
<center><math> a(e_n , v_n) = a(u ,v_n) - a(u_n , v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math>.</center>
Sekarang, <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> adalah galat antara solusi masalah awal ''u'' dan persamaan Galerkin <math>u_n</math> secara berturut-turut.
Baris 44:
<center><math> a(\sum_{j=1}^n u_j e_j , e_i) = \sum_{j=1}^n u_j a(e_j,e_i) = f(e_i) </math> untuk <math>i = 1 , \cdots, n</math>.</center>
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana
<math> a_ij = a(e_j , e_i) </math> dengan <math> f_i = f(e_i) </math>
Baris 60:
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
* Pembatasan: untuk setiap <math> u , v \in V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \le C \lVert u \rVert \lVert v \rVert </math> untuk konstanta C > 0.</center>
* Eliptisitas: untuk setiap setiap <math> u \in V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \ge c\lVert u\rVert ^2 </math> untuk konstanta c > 0 .</center>
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam [[formulasi lemah]]. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
Baris 68:
'''g. Well-posedness dari metode Galerkin'''
Karena <math> V_n \subset V </math> pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi <math> V_n </math>. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
'''h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)'''
| |||