Teorema Rolle: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
||
Baris 22:
ada pada garis bilangan riil yang diperluas [−∞,∞], maka ada suatu bilangan ''c'' pada selang terbuka (''a'',''b'') sehingga salah satu dari dua limit
:<math>f'(c+)\quad\text{
adalah ≥ 0 dan yang lainnya adalah ≤ 0 (pada garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap ''x'', maka limit ini sama pada khususnya untuk ''c''. Jadi turunan ''f'' ada pada ''c'' dan sama dengan nol.
Baris 43:
::<math>f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x < y.</math>
== Contoh ==
===Contoh pertama===
[[Berkas:semicircle.svg|thumb|300px|Sebuah '''setengah lingkaran''' dengan radius {{mvar|r}}.]]
Untuk radius angka {{math|''r'' > 0}}, pertimbangkan dengan fungsi:
:<math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].</math>
[[Grafik suatu fungsi|grafik]] adalah [[setengah lingkaran]] atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini berlanjut pada interval tertutup {{math|[−''r'', ''r'']}} dan dibedakan dalam interval terbuka {{math|(−''r'', ''r'')}}, tetapi tidak dapat dibedakan di titik akhir {{math|−''r''}} dan {{mvar|r}}. Setelah mencari {{math|''f ''(−''r'') {{=}} ''f ''(''r'')}}, Teorema Rolle berlaku, dan memang, ada titik darimana turunan {{mvar|f}} adalah nilai nol. Perhatikan bahwa teorema berlaku bahkan ketika fungsi tidak dapat dibedakan di titik akhir karena hanya memerlukan fungsi tersebut untuk dapat dibedakan dalam interval terbuka.
{{clear}}<!--Hentian ini memastikan bahwa teks pada bagian berikutnya jelas dari gambar di bagian saat ini-->
===Contoh kedua===
[[Berkas:Absolute value.svg|thumb|300px|Grafik fungsi nilai absolut.]]
Jika diferensiabilitas gagal pada titik interior interval, kesimpulan teorema Rolle mungkin tidak berlaku. Pertimbangkan fungsi [[nilai absolut]]:
:<math>f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1].</math>
Kemudian {{math|''f ''(−1) {{=}} ''f ''(1)}}, tapi tidak ada nilai {{mvar|c}} antara −1 dan 1 pada nilai {{math|''f ''′(''c'')}} adalah nol. Hal tersebut karena fungsi itu, meskipun kontinu, tidak dapat dibedakan pada nilai {{math|''x'' {{=}} 0}}. Perhatikan bahwa turunan dari {{mvar|f}} mengubah tandanya pada {{math|''x'' {{=}} 0}}, tetapi tanpa mencapai nilai 0. Teorema tidak dapat diterapkan pada fungsi ini karena tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus dapat dibedakan untuk setiap nilai {{mvar|x}} dalam interval terbuka. Namun, ketika persyaratan diferensiabilitas dihilangkan dari teorema Rolle, {{mvar|f}} akan tetap memiliki [[angka kritis]] dalam interval terbuka {{math|(''a'', ''b'')}}, tetapi mungkin tidak menghasilkan garis singgung horizontal (seperti dalam kasus nilai absolut yang ditunjukkan dalam grafik).
{{clear}}<!--Hentian ini memastikan bahwa teks pada bagian berikutnya jelas dari gambar di bagian saat ini-->
== Pembuktian ==
| |||