Bola (geometri): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 166:
:<math>s f(x,y,z) + t g(x,y,z) = 0</math>
juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter {{mvar|s}} dan {{mvar|t}}. Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut '''pensil bola''' yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.<ref name=Woods266 />
== Generalisasi ==
{{Main|n-bola|Ruang metrik}}
=== Dimensi ===
Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah [[dimensi]] berapa pun. Untuk [[bilangan asli]] {{mvar|n}}, sebuah "{{mvar|n}}-bola," sering kali ditulis sebagai {{math|''S''<sup>''n''</sup>}}, adalah Titi himpunan dalam (dimensi-{{math|''n'' + 1}}) Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap {{mvar|r}} dari titik pusat ruang itu, dimana {{mvar|r}}, seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:
* {{math|''S''<sup>0</sup>}}: bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval {{math|[−''r'', ''r'']}} dari garis sebenarnya
* {{math|''S''<sup>1</sup>}}: 1 bola adalah [[lingkaran]] dengan jari-jari ''r''
* {{math|''S''<sup>2</sup>}}: 2-bola adalah bola biasa
* {{math|''S''<sup>3</sup>}}: [[3-bola]] adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.
Bola untuk {{math|''n'' > 2}} terkadang disebut [[hiperbola]].
{{Mvar|n}}-bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan {{math|''S''<sup>''n''</sup>}} dan sering disebut sebagai {{mvar|n}}-bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.
Luas permukaan unit ({{math|''n''-1}})-bola adalah
:<math>\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}</math>
dimana {{math|Γ(''z'')}} adalah [[fungsi gamma]] Euler.
Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah
:<math> \begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is odd}.
\end{cases}</math>
dan volume adalah kali luas permukaan {{math|{{sfrac|''r''|''n''}}}} atau
:<math> \begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is odd}.
\end{cases}</math>
Rumus rekursif umum juga ada untuk [[volume bola-n| volume dari {{mvar|n}}-bola]].
=== Ruang metrik ===
Secara lebih umum, dalam [[ruang metrik]] {{math|(''E'',''d'')}}, bola pusat {{mvar|x}} dan jari-jari {{math|''r'' > 0}} adalah titik himpunan {{mvar|y}} sedemikian rupa maka {{math|1=''d''(''x'',''y'') = ''r''}}.
Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari {{mvar|E}}, seperti dalam ruang [[norma (matematika)|norma]], itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus [[bola unit]].
Tidak dengan [[bola (matematika)|bola]], bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam {{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}} dengan [[metrik Eullides]], radius radius {{math|''r''}} tidak kosong hanya jika {{math|''r''<sup>2</sup>}} bisa ditulis sebagai jumlah dari {{math|''n''}} kuadrat dari [[bilangan bulat]].
== Geometri bola ==
| |||