Turunan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
→Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar: Baris-baris pada "Turunan implisit:" |
k Perbaikan untuk PW:CW (Fokus: Minor/komestika; 1, 48, 64) + genfixes |
||
Baris 12:
== Pendahuluan ==
Secara informal, turunan dari sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} dengan variabel {{math|''x''}} adalah ukuran dari rasio perubahan nilai {{math|''y''}} terhadap perubahan nilai variabel {{math|''x''}}. Jika {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan real]], dan jika grafik fungsi {{math|''f''}} diplot terhadap {{math|''x''}}, besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik menandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.[[Berkas:
: <math>m=\frac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},</math>
Baris 40:
=== Asal-usul definisi ===
[[Berkas:
Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai [[limit]] dari perbandingan dua bilangan real.<ref>Spivak 1994, chapter 10.</ref> Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Baris 93:
[[Berkas:Right-continuous.svg|ka|jmpl|Fungsi tangga tidak memiliki turunan pada titik berwarna merah, karena fungsi tidak kontinu di titik tersebut.]]
Fungsi <math>f</math> yang terdiferensialkan di suatu titik <math>a</math>, juga akan bersifat [[Fungsi kontinu|kontinu]] di titik tersebut. Sebagai contoh dari sifat ini, misalkan {{math|''f''}} adalah [[Fungsi tangga Heaviside|fungsi tangga]] yang menghasilkan nilai 1 untuk semua {{math|''x''}} kurang dari nilai {{math|''a''}}, dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai {{math|''x''}} yang lebih besar atau sama dengan {{math|''a''}}. Fungsi {{math|''f''}} tidak dapat memiliki turunan di titik {{math|''a''}}. Untuk nilai {{math|''h''}} yang negatif, titik {{math|''a'' + ''h''}} akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} akan sangat curam; dan semakin curam saat {{math|''h''}} menuju nol. Sedangkan nilai {{math|''h''}} yang positif, maka {{math|''a'' + ''h''}} terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari {{math|''a''}} ke {{math|''a'' + ''h''}} tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju besar kemiringan yang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.
[[Berkas:
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai contoh, fungsi [[nilai mutlak]] {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}}}} bersifat kontinu di {{math|''x'' {{=}} 0}}, namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika {{math|''h''}} positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai 1, sedangkan jika {{math|''h''}} negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke {{math|''h''}} bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} tidak terdiferensialkan di {{math|''x'' {{=}} 0}}.
Baris 101:
== Turunan sebagai sebuah fungsi ==
[[Berkas:
Misalkan {{math|''f''}} adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di [[Ranah fungsi|domainnya]]. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik {{mvar|x}} ke nilai dari turunan {{mvar|f}} di {{mvar|x}}. Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah <math>f'</math>, dan disebut sebagai ''fungsi turunan'' atau ''turunan dari'' {{math|''f''}}. Terkadang {{math|''f''}} memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di {{mvar|a}} sama dengan <math>f'(a)</math> kapanpun nilai <math>f'(a)</math> terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari {{math|''f''}}. Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari {{math|''f''}}.
Baris 312:
Walaupun (atau tepatnya ''karena'') konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.
Jika fungsi <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan domain <math>U</math>, maka fungsi <math>f</math> disebut ''[[
== Turunan untuk fungsi bernilai vektor ==
[[Berkas:Vector-
== Turunan untuk fungsi multivariabel ==
Baris 375:
==== Turunan berarah ====
{{Main|Turunan berarah}}
[[Berkas:
Jika <math>f</math> adalah fungsi bernilai real di <math>\R^n</math>, maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika <math>f</math> adalah fungsi dari <math>x</math> dan <math>y</math>'','' maka turunan parsial <math>f</math> mengukur variasi di <math>f</math> dalam arah <math>x</math> dan <math>y</math>. Tapi, turunan <math>f</math> tidak mengukur secara langsung variasi <math>f</math> pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal <math>y = x</math>. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor
|