Wikipedia

Pengguna:Kekavigi/bak pasir: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k ~
k ~
Baris 1:
{{Short description|Ruang vektor yang dihasilkan dari kombinasi linear elemen-elemen di suatu himpunan}}
[[Berkas:Basis_for_a_plane.svg|jmpl|Bidang yang direntang oleh vektor '''u''' dan '''v''' di '''R'''<sup>3</sup>.]]
Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' atau '''span''' dari sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> berisi [[Vektor Euklides|vektor-vektor]] (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua [[kombinasi linear]] dari vektor-vektor di <math>S.</math>.<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 29, § 2.7</ref> Rentang linear dari <math>S</math> umum disimbolkan dengan <math>\text{span}(S).</math><ref name=":0">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref> Sebagai contoh, dua vektor yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] akan merentang suatu [[Bidang (geometri)|bidang]]. Rentang dapat dikarakterisasikan<!-- istilah 'dikarakterisasikan' secara praktis sama saja dengan istilah 'didefinisikan', namun saya ragu untuk menggunakan padanan ini. --kekavigi --> sebagai [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dari semua [[Subruang vektor|subruang (vektor)]] yang mengandung <math>S,</math>, maupun sebagai subruang yang mengandung <math>S.</math> Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk [[matroid]] dan [[Modul (matematika)|modul]].
 
Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor <math>V</math> adalah rentang linear dari subset <math>S,</math>, beberapa pernyataan berikut umum digunakan: <math>S</math> merentang <math>V,</math>, <math>S</math> adalah ''himpunan merentang'' dari <math>V,</math>, <math>V</math> direntang/dibangkitkan oleh <math>S,</math>, atau <math>S</math> adalah [[Pembangkit (matematika)|pembangkit]] atau himpunan pembangkit dari <math>V.</math>
 
== Definisi ==
Untuk sebarang [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K,</math>, rentang dari suatu himpunan <math>S</math> yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan <math>W</math> dari semua [[Subruang vektor|subruang]] dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>. Irisan <math>W</math> disebut sebagai subruang yang ''direntang oleh'' <math>S,</math>, atau oleh vektor-vektor di <math>S.</math>. Kebalikannya, <math>S</math> disebut ''himpunan merentang'' dari <math>W</math>, dan kita katakan <math>S</math> ''merentang <math>W.</math>''.
 
Rentang dari <math>S</math> juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua [[kombinasi linear]] terhingga dari vektor-vektor di <math>S.</math>.<ref>{{Harvard citation text|Hefferon|2020}} p. 100, ch. 2, Definition 2.13</ref><ref name=":02">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref><ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}} pp. 41-42</ref><ref>{{Harvard citation text|MathWorld|2021}} Vector Space Span.</ref> Secara matematis, ini dituliskan sebagai<math display="block"> \operatorname{span}(S) = \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i \in S, \lambda _i \in K} \right \}.</math>Pada kasus <math>S</math> berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
 
== Contoh ==
Ruang vektor [[Bilangan riil|riil]] <math>\mathbb R^3</math> dapat direntang oleh himpunan <math>\{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} </math>. Himpunan ini juga merupakan suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Jika <math>(-1,0,0)</math> digantikan dengan <math>(1,0,0)</math>, himpunan tersebut merupakan [[Basis (aljabar linear)|basis standar]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Contoh himpunan pembangkit lain dari <math>\mathbb R^3</math> adalah <math>\{(1,2,3),\, (0, 1, 2),\, (-1, \tfrac{1}{2}, 3),\, (1, 1, 1)\}</math>, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat [[Kebebasan linear|bergantung linear]].
 
Himpunan <math>\{(1, 0, 0),\,(0, 1, 0),\,(1,1,0)\}</math> bukan himpunan merentang dari <math>\mathbb R^3</math>, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di <math>\mathbb R^3</math> yang komponen terakhirnya bernilai <math>0.</math> Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan <math>\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}, </math> karena <math>(1,1,0)</math> adalah kombinasi linear dari <math>(1,0,0)</math> dan <math>(0,1,0).</math>
 
Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari <math>\{(0, 0, 0)\}, </math> karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di <math>\mathbb R^3,</math> dan <math>\{(0, 0, 0)\} </math> adalah irisan dari semua subruang tersebut.
The set {{math|{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}}} is not a spanning set of <math>\mathbb R^3</math>, since its span is the space of all vectors in <math>\mathbb R^3</math> whose last component is zero. That space is also spanned by the set {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, as (1, 1, 0) is a linear combination of (1, 0, 0) and (0, 1, 0). Thus, the spanned space is not <math>\mathbb R^3.</math> It can be identified with <math>\mathbb R^2</math> by removing the third components equal to zero.
 
Himpunan semua [[monomial]] <math>x^n,</math> dengan <math>n</math> adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang [[polinomial]].
The empty set is a spanning set of {(0, 0, 0)}, since the empty set is a subset of all possible vector spaces in <math>\mathbb R^3</math>, and {(0, 0, 0)} is the intersection of all of these vector spaces.
 
The set of [[Monomial|monomials]] {{mvar|x<sup>n</sup>}}, where {{mvar|n}} is a non-negative integer, spans the space of [[Polynomial|polynomials]].
 
== Teorema ==
 
=== EquivalenceKesetaraan ofantar definitionsdefinisi ===
Untuk sebarang ruang vektor <math>V</math> atas lapangan <math>K,</math> himpunan semua kombinasi linear dari subset <math>S</math> dari <math>V,</math> adalah subruang terkecil dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>
The set of all linear combinations of a subset {{mvar|S}} of {{mvar|V}}, a vector space over {{mvar|K}}, is the smallest linear subspace of {{mvar|V}} containing {{mvar|S}}.
 
: ''ProofBukti.'' WePertama firstkita provetunjukkan thatbahwa <math>\text{{math|span ''S''}} is(S)</math> aadalah subspacesubruang ofdari {{mvar|<math>V}}.</math> SinceKarena {{mvar|<math>S}} is</math> aadalah subset ofdari {{mvar|<math>V}},</math> wekita onlycukup needmembuktikan tobahwa provevektor the<math>\mathbf existence0</math> ofanggota adari zero vector {{<math|'''0'''}} in >\text{{math|span ''}(S''}}), that</math> bahwa <math>\text{{math|span ''}(S''}})</math> isdibawah closed under additionpenjumlahan, anddan thatbahwa <math>\text{{math|span ''}(S''}} is)</math> closedtertutup underdibawah scalarperkalian multiplicationskalar. LettingMisalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}</math>, itmudah isditunjukkan trivialbahwa thatvektor thenol zerodi vector of {{mvar|<math>V}}</math> existsada indi <math>\text{{math|span ''}(S''}}), since</math> karena <math>\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n. </math>. AddingMenjumlahkan sebarang togetherdua twokombinasi linear combinationsdari of {{mvar|<math>S}}</math> alsoakan producesmenghasilkan akombinasi linear combinationdari of {{mvar|<math>S}}</math>: <math display="block">(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n,</math>, wheredengan allsemua <math>\lambda_i, \mu_i \in K</math>, anddan multiplyingmengalikan asebarang kombinasi linear combinationdari of {{mvar|<math>S}}</math> bydengan asebarang scalarskalar <math>c \in K</math> willakan producemenghasilkan anotherkombinasi linear combinationdari of {{mvar|<math>S}}</math>: <math display="block">c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n. </math>.Alhasil, Thus {{<math|>\text{span ''S''}}(S)</math> isadalah asubruang subspacedari of {{mvar|<math>V}}.</math>
 
: SupposeMisalkan that {{mvar|<math>W}}</math> isadalah asubruang linear subspace of {{mvar|<math>V}}</math> containingyang {{mvar|mengandung <math>S}}.</math> ItPerhatikan follows thatbahwa <math>S \subseteq \operatorname{span} S,</math>, sincekarena everysemua {{<math|'''>\mathbf{v'''<sub>''i''}_i</submath>}} ismerupakan akombinasi linear combinationdari of {{mvar|<math>S}}</math> (triviallysecara langsung). SinceKarena {{mvar|<math>W}}</math> istertutup closeddibawah underpenjumlahan additiondan andperkalian scalar multiplicationskalar, thenmaka everysetiap linearkombinasi combinationlinear <math>\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n</math> mustharus beberada containeddi in {{mvar|<math>W}}.</math> ThusAkibatnya, {{<math|>\text{span ''S''}}(S)</math> isterkandung containeddi insemua everysubruang subspacedari of {{mvar|<math>V}}</math> containingyang {{mvar|mengandung <math>S}},.</math> andLebih the intersectionlanjut, ofirisan allsemua suchsubruang subspacestersebut, oryakni thesubruang smallest such subspaceterkecil, issama equaldengan tohimpunan thesemua set of allkombinasi linear combinationsdari of {{mvar|<math>S}}.</math>
 
=== Size of spanning set is at least size of linearly independent set ===
Baris 65 ⟶ 64:
Let {{mvar|X}} be a normed space and let {{mvar|E}} be any non-empty subset of {{mvar|X}}. Then{{ordered list|<math>\overline{\operatorname{Sp}}(E)</math> is a closed linear subspace of ''X'' which contains ''E'',|<math>\overline{\operatorname{Sp}}(E) = \overline{\operatorname{Sp}(E)}</math>, viz. <math>\overline{\operatorname{Sp}}(E)</math> is the closure of <math>\operatorname{Sp}(E)</math>,|<math>E^\perp = (\operatorname{Sp}(E))^\perp = \left(\overline{\operatorname{Sp}(E)}\right)^\perp.</math>|list-style-type=lower-alpha}}(So the usual way to find the closed linear span is to find the linear span first, and then the closure of that linear span.)
 
== SeeCatatan alsokaki ==
<references responsive="" />▼
 
* [[Affine hull]]
* [[Conical combination]]
* [[Convex hull]]
 
== Citations ==
▲<references />
 
== SourcesDaftar pustaka ==
 
=== TextbooksBuku ===
 
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
Baris 85 ⟶ 78:
* Lay, David C. (2021) ''Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)''. Pearson.
 
=== WebSitus ===
 
* {{cite web|last1=Lankham|first1=Isaiah|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|author2-link=Bruno Nachtergaele|date=13 February 2010|title=Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics|url=https://www.math.ucdavis.edu/~anne/linear_algebra/mat67_course_notes.pdf|publisher=University of California, Davis|access-date=27 September 2011|last3=Schilling|first3=Anne|author3-link=Anne Schilling}}
Baris 91 ⟶ 84:
* {{Cite web|date=5 April 2020|title=Linear hull|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_hull|website=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=16 Feb 2021|ref=CITEREFEncyclopedia_of_Mathematics2020}}
 
== ExternalPranala linksluar ==
 
* [https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors], khanacademy.org.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Kekavigi/bak_pasir"