Modul (matematika): Perbedaan antara revisi

*Jika ''K'' adalah medan, dan ''K''[''x''] univariat [[gelanggang polinomial]], maka [[gelanggang polinomial#Modul|modul-''K''[''x'']]] ''M'' adalah modul ''K'' dengan aksi tambahan ''x'' pada ''M'' pada komutatif dengan tindakan ''K'' di ''M''. Dengan kata lain, modul ''K''[''x''] adalah ruang vektor ''K'' pada ''M'' yang dikombinasikan dengan [[peta linear]] dari ''M'' ke ''M''. Menerapkan [[Teorema struktur untuk modul yang dihasilkan hingga pada domain ideal utama]] pada contoh ini menunjukkan keberadaan [[Bentuk kanonik rasional|rasional]] dan bentuk [[Bentuk normal Yordania|kanonik Yordania]].

*Konsep modul '''Z''' menyetujui dengan gagasan grup abelian. Artinya, setiap [[grup abelian]] adalah modul di atas gelanggang [[bilangan bulat]] '''Z''' dengan unik. Untuk {{nowrap|''n'' > 0}}, misal {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (''n''), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, dan {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}}. Modul tersebut tidak perlu memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]]—grup yang berisi [[elemen torsi]]. Misalnya, dalam grup bilangan bulat [[modular arithmetic|modulo]] 3, apabila tidak menemukan satu elemenpun yang memenuhi definisi himpunan bebas linear karena ketika sebuah bilangan bulat seperti 3 atau 6 mengalikan sebuah elemen, hasilnya adalah 0. Namun, jika [[medan hingga]] sebagai modul atas medan hingga yang sama diambil sebagai gelanggang adalah ruang vektor dan memiliki basis.

*Jika ''R'' adalah gelanggang sembarang dan ''n'' sebuah [[bilangan asli]], maka [[produk Kartesius]] ''R''^''n'' adalah modul kiri-''R'' dan kanan atas ''R'' jika kita menggunakan komponen-operasi. Oleh karena itu ketika {{nowrap|1=''n'' = 1}}, ''R'' adalah modul ''R'', dimana perkalian skalar hanyalah perkalian gelanggang. Kasus {{nowrap|1=''n'' = 0}} menghasilkan modul ''R''-{0} yang hanya terdiri dari elemen identitas. Modul jenis ini disebut [[modul bebas|bebas]] dan jika ''R'' memiliki [[bilangan basis invarian]] (misalnya gelanggang atau medan komutatif) bilangan ''n'' kemudian menjadi peringkat modul bebas.

*Jika M_''n''(''R'') adalah gelanggang {{nowrap|''n'' × ''n''}} [[matriks (matematika)|matriks]] atas gelanggang ''R'', ''M'' adalah modul-M_''n''(''R''), dan ''e''_''i'' adalah matriks {{nowrap|''n'' × ''n''}} dengan 1 entri {{nowrap|(''i'', ''i'')}} (dan nol di tempat), maka ''e''_''i''''M'' adalah modul-''R'', karena {{nowrap|1=''re''_''i''''m'' = ''e''_''i''''rm'' ∈ ''e''_''i''''M''}}. Jadi ''M'' dipecah sebagai jumlah langsung dari modul ''R'', {{nowrap|1=''M'' = ''e''₁''M'' ⊕ ... ⊕ ''e''_''n''''M''}}. Sebaliknya, diberikan modul-''R'' pada ''M''₀, maka ''M''₀^⊕''n'' adalah modul-M_''n''(''R''). Sebenarnya, [[kategori modul|kategori modul-''R'']] dan [[kategori (matematika)|kategori]] dari modul-M_''n''('' R'') adalah [[ekuivalen kategori|ekuivalen]]. Kasus khusus adalah bahwa modul ''M'' apabila ''R'' sebagai modul atasnya, maka ''R''^''n'' adalah modul-M_''n''(''R'').

; Sederhana: Sebuah [[modul sederhana]] ''S'' adalah modul yang bukan {0} dan submodulnya {0} dan ''S''. Modul sederhana terkadang disebut ''takreduksi''.<ref>Jacobson (1964), [https://books.google.com/books?id=KlMDjaJxZAkC&pg=PA4 p. 4], Def. 1; {{PlanetMath|urlname=IrreducibleModule|title=Irreducible Module}}</ref>

; Semisederhana: [[modul semisederhana]] adalah penjumlahan langsung (hingga atau tidak) dari modul sederhana. Secara historis modul ini juga disebut "komplekmen ireduksi".

; Kesesuaian: Sebuah [[modul sesuai]] ''M'' adalah salah satu dimana tindakan setiap {{nowrap|''r'' ≠ 0}} dalam ''R'' atas ''M'' non-trivial (yaitu {{nowrap|''r'' ⋅ ''x'' ≠ 0}} untuk beberapa ''x'' dalam ''M''). Secara ekuivalen, [[annihilator (teori gelanggang)|annihilator]] dari ''M'' adalah [[ideal nol]].

; Bebas torsi: [[modul bebas torsi]] adalah modul atas gelanggang sehingga 0 adalah satu-satunya elemen annihilator oleh elemen reguler (non [[pembagi nol]]) dari gelanggang, secara ekuivalen <math>rm=0</math> mengartikan <math>r=0</math> atau <math>m=0</math>.