Bilangan prima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Sejarah: memperbaiki kutipan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 146:
== Dalam aljabar abstrak ==
===Aritmetika modular dan Medan berhingga===
{{Main|Aritmetika modular}}
Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> untuk bilangan asli <math>n</math> yang disebut modulus.
Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan <math>n</math>.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposisi 5.3], hal. 96.</ref>
Jumlah, pembeda, dan darab modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, selisih, atau perkalian bilangan bulat biasa.<ref>{{cite book|title=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields|volume=27|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|first=Shahriar|last=Shahriari|author-link= Shahriar Shahriari |publisher=American Mathematical Society|year=2017|isbn=978-1-4704-2849-5|pages=20–21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref> Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan ''kongruensi'' dalam aritmetika modular:
<math>x</math> dan <math>y</math> adalah kongruen (ditulis <math>x\equiv y</math> mod <math>n</math>) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Teorema 3, hal. 28].</ref> Namun, dalam sistem bilangan ini, [[Pembagian (matematika)|pembagian]] dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima <math>7</math> sebagai modulus, pembagian dengan <math>3</math> adalah dimungkinkan: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math> karena kemungkinan [[menghapus penyebut]] dengan mengalikan kedua ruas dengan <math>3</math> diberikan rumus yang valid <math>2\equiv 9\bmod{7}</math>. Namun, dengan modulus komposit <math>6</math>, pembagian dengan <math>3</math> adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math>: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan <math>3</math> menyebabkan ruas kiri menjadi <math>2</math> sedangkan ruas kanan menjadi <math>0</math> atau <math>3 </math>. Dalam terminologi [[aljabar abstrak]], kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk [[medan (matematika)|medan]] atau [[medan berhingga]], sedangkan modulus lainnya hanya memberikan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] tetapi bukan sebuah medan.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 hal. 27–28].</ref>
Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, [[teorema kecil Fermat]] menyatakan bahwa jika <math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>), maka <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>).<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.</ref>
Menjumlahkan dari semua pilihan <math>a</math> diberikan persamaan
:<math>\sum_{a=1}^{p-1} a^{p-1} \equiv (p-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod p,</math>
valid jika <math>p</math> adalah bilangan prima.
[[Konjektur Giuga]] menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk <math>p</math> menjadi prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, hal. 21–22.</ref>
[[Teorema Wilson]] menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat <math>p>1</math> adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[faktorial]] <math>(p-1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> mod <math>p</math>. Untuk {{nowrap|bilangan <math>\;n = r\cdot s\; </math>}} ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi {{mvar|n}} dan <math>(n-1)!</math>, dan jadi <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> adalah hal mustahil.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, hal. 21.</ref>
=== Anggota bilangan prima dalam gelanggang ===
| |||