Wikipedia

Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Boulevard (bicara | kontrib)
32 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Boulevard (bicara | kontrib)
32 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Baris 2:
 
Metode Galerkin
Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], '''metode galerkin''' merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operasioperator kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini penerapannya mirip penerapannya dengan [[metode variasi]] ke ruang fungsi dengan merubah parsamaannya keke” [[formulasi lemah]]lemah”. TipeYang yangsecara pertamakhusus menggunakanmenerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang denganpada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali ketikapada penggunaannya, metode Galerkin yang pertama menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode [[Petrov-Galerkin]] atau [[metode Ritz-Galerkin]].▼
 
Pendekatan yang berharga untukoleh matematikawan Rusia [[Boris Galerkin]].▼
▲Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], '''metode galerkin''' merupakan metode untuk mengubah masalah operasi kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini penerapannya mirip dengan [[metode variasi]] ke ruang fungsi dengan merubah parsamaannya ke [[formulasi lemah]]. Tipe yang pertama menggunakan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang dengan suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali ketika penggunaannya, metode Galerkin yang pertama menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan, seperti metode [[Petrov-Galerkin]] atau [[metode Ritz-Galerkin]].
Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, maka pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.▼
 
▲Pendekatan yang berharga untuk matematikawan Rusia [[Boris Galerkin]].
 
▲Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.
Contoh-contoh metode Galerkin adalah:
1. [[Metode elemen berhingga]]
2. [[Metode elemen pembatas]] untuk menyelesaikam persamaan integral
3. [[Metode subruang Kyrlov]]
'''Pengenalan Masalah Abstrak'''▼
 
'''a. Masalah padadalam formulasi lemah'''▼
▲'''Pengenalan Masalah Abstrak'''
Misalkan kita memperkenalkanmemasukkan metode Galerkin denganpada sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu [[formulasi”formulasi lemah]]lemah” pada ruang Hilbert yaitu ''V'' “V”, jika diketahui ''u'' “u”\in ''V''danin”V” untuk setiap''v'' “v”\in ''V'' makain”V”maka▼
 
<math> a(u,v) = f(v) </math>
▲'''a. Masalah pada formulasi lemah'''
adalah benar. a(.Sekarang . .“a”( \cdots, . . .\cdots )Sekarang adalah bentuk bilinear (penjelasan yang eksak atas a“a”(. . . \cdots, . . . \cdots) akan ditentukan selanjutnya) dan ''f''“f” adalah operator linear terbatasi padapembatas ''V''pada”V”.▼
 
▲Misalkan kita memperkenalkan metode Galerkin dengan sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu [[formulasi lemah]] pada ruang Hilbert yaitu ''V'', jika diketahui ''u'' \in ''V''dan untuk setiap''v'' \in ''V'' maka
a(u,v)=f(v)
▲adalah benar. a(. . . , . . . )Sekarang adalah bentuk bilinear (penjelasan yang eksak atas a(. . . , . . . ) akan ditentukan selanjutnya) dan ''f'' adalah operator linear terbatasi pada ''V''.
 
b. Diskretisasi Galerkin
DipilihPilih subruangdengansubruang “v”_n \subset “V” dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks n“n” menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.
Jika diketahui “u”\in”V” dan untuk setiap “u”\in”V” maka
<math> a(u_n ,v_n) = f(v_n) </math>
Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat dirubah dan hanya ruangnya yang dapat dirubah.
 
c. Ortogonalitas Galerkin
Hal ini adalahmerupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena “v”_n \subset “V” , kita dapat menggunakan “v”_n sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat
<math> a(e_n , v_n) = a(u ,v_n) - a(u_n , v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math>
Sekarang <math> e_n = u – u_n </math> adalah galat antara solusi masalah awal ”u” dan persamaan Galerkin “u”_n secara berturut-turut.
 
d. Bentuk Matriks
Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.
Misal “e”_1 , “e”_2 , \cdots ,“e”_n basis untuk “v”_n. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh:
Diketahui “u”_n \in”V”_n sehingga
<math> a(u_n , e_i) = f(e_i) </math>
Kita akan mengembangkan “u”_n menjadi basis seperti ini, “u”_n = \sum_{j=1}^n “u”_j*”e”_j dan masukkanmemasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh
<math> a(\sum_{j=1}^n u_j*e_j , e_i) = \sum_{j=1}^n u_j*a(e_j,e_i) = f(e_i)</math> i = 1 , \cdots, n
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana
<math> a_ij = a(e_j , e_i) </math> <math> f_i = f(e_i) </math>
 
 
e. Matriks Simetrik
Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetrik jika dan hanya jika bentuk bilinear “a”( \cdots,\cdots) adalah simetrik.
 
f. Analisis dari Metode Galerkin
Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetrik, yaitu:
<math>a(u,v) = a(u,v) </math>
BilamanaKarena ini tidakbukan benar-benar sebuah pembatasbatas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar ini menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode Petrov-Galerkin dibutuhkan dalam kasus non-simetrik.
Analisis dari hasil metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah well“well-posed problemproblem” dalam pengertianmenurut Hadamard“Hadamard” dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. DalamPada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan kualitassifat dari solusi Galerkin “u”_n.
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
 Pembatasan: untuk setiap “u” , adalah“v” \in”V”adalah benar bahwa
<math>a(u,v) \le C\iVert u\rVert\iVert v \rVert </math> untuk konstanta C > 0
 Eliptisitas: untuk setiap setiap adalah“u” \in”V”adalah benar bahwa
<math>a(u,v) \ge c\iVert u\rVert ^2 </math> untuk konstanta c > 0
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well“well-posednessposedness” dari masalah awal dalamdalam” weak formulation (formulasi lemah)lemah”. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).▼
 
▲Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam weak formulation (formulasi lemah). Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
 
g. Well-posedness dari metode Galerkin
Karena “V”_n \subset “V” , pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi “V”_n. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
 
h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)
Galat <math> e_n = u – u_n </math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:
<math> \iVert e_n\rVert\ = \frac {C} {c} \overset {inf} {“v”_n \in “V”_n} \iVert u-“v”_n \rVert\</math>
Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta \frac {C} {c}, solusi Galerkin “u”_n adalah mendekati solusi awal u“u” sebagai vector lainnya dalam “V”_n. Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang “V”_n, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.
 
i. Bukti
Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk bilinear(pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya “v”_n \in “V”_n sehingga:
<math> c\iVert u\rVert ^2 \le a(e_n , e_n) = a(e_n , u-v_n) \le C\iVert e_n \rVert \iVert u-v_n \rVert </math>
Bagi dengan “c”\iVert e_n \rVert dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma “v”_h.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Metode_Galerkin"