Wikipedia

Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Boulevard (bicara | kontrib)
32 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Boulevard (bicara | kontrib)
32 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Baris 17:
 
'''a. Masalah dalam formulasi lemah'''
 
Misalkan kita memasukkan metode Galerkin pada sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu [[formulasi lemah]] pada ruang [[Hilbert]] yaitu ''V'', jika diketahui <math> u\in V </math> sehingga untuk setiap <math> v\in V </math> maka
<center><math> a(u,v) = f(v) </math>.</center>
adalah benar. Sekarang “a”<math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah bentuk [[bilinear]] (penjelasan yang eksak atas “a”<math>a( \cdots, \cdots )</math> akan ditentukan selanjutnya) dan “f”''f'' adalah operator linear pembatas pada”V”pada ''V''.
 
'''b. Diskretisasi Galerkin'''
 
Pilih subruang “v”_n<math> v_n \subset “V”V</math> dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks “n”''n'' menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.
Jika diketahui “u”\in”V” dan untuk setiap “u”\in”V” maka
Jika diketahui <math> a(u_n ,v_n)\in =V_n </math> dan untuk setiap <math> f(v_n) \in V_n </math> maka
<center><math> a(u_n ,v_n) = f(v_n) </math>.</center>
Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat dirubah dan hanya ruangnya yang dapat dirubah.
 
'''c. Ortogonalitas Galerkin'''
 
Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena “v”_n<math>v_n \subset “V”V</math> , kita dapat menggunakan “v”_n<math> v_n </math> sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat
<center><math> a(e_n , v_n) = a(u ,v_n) - a(u_n , v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math> .</center>
Sekarang <math> e_n = u – u_n </math> adalah galat antara solusi masalah awal ”u”''u'' dan persamaan Galerkin “u”_n<math>u_n</math> secara berturut-turut.
 
'''d. Bentuk Matriks'''▼
 
▲d. Bentuk Matriks
Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.
Misal “e”_1<math>e_1 , “e”_2e_2 , \cdots ,“e”_ne_n </math> basis untuk “v”_n<math> v_n </math>. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh:
Diketahui “u”_n<math> u_n \in”V”_nin V_n </math> sehingga
<center><math> a(u_n , e_i) = f(e_i) </math>.</center>
Kita akan mengembangkan “u”_n<math> u_n </math> menjadi basis seperti ini, “u”_n<math> u_n = \sum_{j=1}^n “u”_j*”e”_ju_j e_j</math> dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh
<center><math> a(\sum_{j=1}^n u_j*e_j , e_i) = \sum_{j=1}^n u_j*a(e_j,e_i) = f(e_i) </math> .</center>i = 1 , \cdots, n
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana
<math> a_ij = a(e_j , e_i) </math> dengan <math> f_i = f(e_i) </math>
 
 
'''e. Matriks Simetrik'''
 
Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetrik jika dan hanya jika bentuk [[bilinear]] “a”<math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah simetrik.
 
'''f. Analisis dari Metode Galerkin'''▼
 
▲f. Analisis dari Metode Galerkin
Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetrik, yaitu:
<center><math> a(u,v) = a(u,v) </math> .</center>
Karena ini bukan benar-benar sebuah batas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar ini menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode [[Petrov-Galerkin]] dibutuhkan dalam kasus non-simetrik.
Analisis dari metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah “well[[well-posed problem”problem]] menurut “Hadamard”[[Hadamard]] dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. Pada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan sifat dari solusi Galerkin “u”_n<math>u_n</math> .
 
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
*Pembatasan: untuk setiap “u”<math> u , “v”v \in”V”adalahin V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \le C \iVert u \rVert \iVert v \rVert </math> .</center> untuk konstanta C > 0
*Eliptisitas: untuk setiap setiap “u”<math> u \in”V”adalahin V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \ge c\iVert u\rVert ^2 </math> .</center> untuk konstanta c > 0
 
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif “wellwell-posedness”posedness dari masalah awal dalam”dalam [[formulasi lemah”lemah]]. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
 
'''g. Well-posedness dari metode Galerkin'''▼
 
Karena “V”_n<math> V_n \subset “V”V </math> pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi “V”_n<math> V_n </math>. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal. ▼
 
'''h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)'''▼
▲g. Well-posedness dari metode Galerkin
▲Karena “V”_n \subset “V” pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi “V”_n. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
 
Galat <math> e_n = u – u_n </math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:▼
▲h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)
▲Galat <math> e_n = u – u_n </math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:
<math> \iVert e_n\rVert\ = \frac {C} {c} \overset {inf} {“v”_n \in “V”_n} \iVert u-“v”_n \rVert\</math>
Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta \frac {C} {c}, solusi Galerkin “u”_n adalah mendekati solusi awal “u” sebagai vector lainnya dalam “V”_n. Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang “V”_n, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Metode_Galerkin"