Masalah Monty Hall: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Baris 132:
Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil) secara acak.
[[Image:Monty open door chances.svg|197px|right|Pintu pilihan pemain memiliki probabilitas sebesar 1/3, dua pintu lainnya memiliki probabilitas sebesar 2/3. Apabila pembawa acara membuka salah satu pintu tersebut, maka pintu yang dibuka memiliki probabilitas 0 dan pintu sisanya menjadi 2/3]]
==Analisis Bayes==
Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori [[probabilitas Bayes]] ([[#refGill2002|Gill 2002]]) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi ''latar belakang'' apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:
:<math>C_i\,</math> : Mobil berada di pintu ''i'', ''i'' sama dengan 1,2, atau 3.
:<math>H_{ij}\,</math> : Pembawa acara membuka pintu ''j'' setelah pemain memilih pintu ''i'', ''i'' dan ''j'' sama dengan 1, 2 atau 3.
Sebagai contoh, <math>C_1\,</math> menandakan proposisi ''mobil di belakang pintu 1'' dan <math>H_{12}\,</math> menandakan ''pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1''. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan <math>I\,</math>, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:
Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara ''a priori'' memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, ''a priori'' berarti ''sebelum permainan di mulai'', atau ''sebelum melihat kambing''. Karenanya, [[probabilitas awal]] proposisi <math>C_i\,</math> adalah:
:<math>P(C_i | I)\,= \frac{1}{3}.</math>
Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan [[probabiltas bersyarat]] dari proposisi <math>H_{ij}\,</math> tergantung pada keberadaan mobil tersebut:
<dl><dd>
{|
|-
| rowspan="4" valign="center" | <math>P(H_{ij} | C_k,\, I)\,\, =\,\begin{cases}
\, \\
\, \\
\, \\
\,
\end{cases}</math>
| <math>\,0\,</math> || || jika ''i'' = ''j'', (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang dipilih pemain)
|-
| <math>\,0\,</math> || || jika ''j'' = ''k'', (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang terdapat mobil di belakangnya)
|-
| <math>\,1/2\,</math> || || jika ''i'' = ''k'', (kedua pintu yang tidak terdapat mobil memiliki peluang yang sama untuk dibuka)
|-
| <math>\,1\,</math> || || jika ''i'' <math>\ne</math>''k'' dan ''j'' <math>\ne</math> ''k'', (hanya terdapat satu pintu yang tersedia untuk dibuka)
|}
</dd></dl>
Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan [[probabilitas posterior]] kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara ''melakukan'' proposisi <math>H_{13}\,</math>.
Probabilitas posterior kemenangan dengan ''tidak'' beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan <math>H_{13}\,</math>, ditulis <math>P(C_1 | H_{13},\,I)</math>. Dengan menggunakan [[Teorema Bayes]], hal ini dapat diekspresikan sebagai:
:<math> P(C_1|H_{13},\,I) = \frac{P(H_{13}| C_1,\,I) \, P(C_1 | I)}{P(H_{13} | I)}.</math>
Dengan asumsi di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:
:<math>P(H_{13}| C_1,\,I) \, P(C_1 | I) = \frac12 \times \frac13 = \frac16.</math>
[[Tetapan penormalan]] pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi [[probabilitas marginal]] dan probabilitas bersyarat:
:<math>\begin{array}{lcl}
P(H_{13}|I) &{}= &P(H_{13},\,C_1 | I) + P(H_{13},\,C_2|I) + P(H_{13},\,C_3|I) \\
&{}= &P(H_{13}|C_1,\,I) \, P(C_1|I)\, + \\
&&P(H_{13}|C_2,\,I) \, P(C_2|I)\, + \\
&&P(H_{13}|C_3,\,I) \, P(C_3|I) \\
&{}= &{\displaystyle \frac12 \times \frac13 + 1 \times \frac13 + 0 \times \frac13 }\ = \ {\displaystyle\frac12\ .}
\end{array}</math>
Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:
:<math>P(C_1|H_{13},\,I) = \frac16\,/\,\frac12 = \frac13.</math>
Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.
Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, <math>P(C_2 | H_{13},\,I)</math>, dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:
:<math>1 = P(C_1|H_{13},\,I) + P(C_2 | H_{13},\,I) + P(C_3|H_{13},\,I).</math>
Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka <math>P(C_3|H_{13},\,I)</math> haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasi perhitungan sebelumnya:
:<math>
\begin{align}
P(C_3|H_{13},\,I) &= \frac{P(H_{13}|C_3,\,I)\,P(C_3|I)}{P(H_{13}|I)} \\
&= \left(0\times\frac13\right) /\, \frac12 = 0\ .
\end{align}
</math>
Maka:
:<math>P(C_2 | H_{13},\,I) = 1 - \frac13 - 0 = \frac23.</math>
Ini menunjukkan bahwa strategi untuk memenangkan permainan adalah mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa acara yang menunjukkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan ''transfer'' probabilitas ''a priori'' sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut memiliki peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.
== Referensi ==
| |||