Revisi per 7 Agustus 2017 04.13 sunting HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.172.010 suntingan k Bot: penggantian teks otomatis (-asal-usul, +asal usul ← Revisi sebelumnya		Revisi per 9 Juni 2019 18.47 sunting balikkan LaninBot (bicara \| kontrib) Bot 268.871 suntingan k Perubahan kosmetik tanda baca Tag: PAWS [1.2] Revisi selanjutnya →
Baris 10: == Definisi == Suatu grup adalah suatu [[himpunan]] <math>G</math> beserta satu [[operasi biner]] <math></math> yang memenuhi ''aksioma-aksioma grup'' berikut: '''Ketertutupan''' (''closure'') : untuk setiap <math>a,b\in G</math>, berlaku <math>ab\in G</math>. '''Sifat asosiatif''' : untuk setiap <math>a,b,c\in G</math>, berlaku <math>(ab)c=a(bc)</math>. * '''Unsur identitas''' : terdapat suatu <math>i\in G</math> sehingga untuk setiap <math>a\in G</math> berlaku <math>ai=ia=a</math> (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas). * '''Unsur invers''' : untuk setiap <math>a\in G</math>, terdapat suatu <math>b\in G</math> sehingga <math>ab=ba=i</math>, di mana <math>i</math> adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur <math>G</math> memiliki tepat satu unsur invers). == Notasi grup == Baris 34: == Beberapa contoh elemen dan bukan contoh == === Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan === Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup. Bukti : * Bila “a” dan “b” merupakan bilangan bulat maka “a” + “b” juga merupakan bilangan bulat. Baris 45: Bila “a” sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” = -“a” sedemikian sehingga “a” + “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers) Grup ini juga merupakan abelian : “a” +” b” = “b” + “a”. Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar [[cincin]] yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin. === “Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian === Bilangan bulat terhadap [[perkalian]] yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan sebuah grup : Bila “a” dan “b” bilangan bulat maka “a” “’ ×’” “b” merupakan bilangan bulat Bila “a”, “b”, dan “c” bilangan bulat maka (“a”“’ ×’” “b”) “’ ×’” “c” = “a”“’ ×’” (“b”“’ ×’” “c”) (sifat asosiatif) Baris 61: Karena tidak semua elemen dari (“’Z’”, “’ ×’”) mempunyai invers maka (“’Z’”, “’ ×’”) bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut (“’Z’”, “’ ×’”) sebuah [[monoid]] komutatif. === Sebuah grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian === Misalkan “’Q’” sebagai himpunan [[bilangan rasional]], yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan “a”/”b” dengan “a” dan “b” merupakan bilangan bulat dan”b” bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol ““’ ×’” ”. Karena bilangan rasional [[0]] tidak memiliki invers untuk perkalian maka (“’Q’”, “’ ×’”), sebagaimana juga (“’Z’”, “’ ×’”) bukan sebuah grup. Baris 69: Sama seperti bilangan bulat yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari [[bidang]]. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari bidang. === Grup bukan belian tertentu : permutasi dari himpunan === Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan “a” merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan “b” aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”. Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan “x””y” untuk aksi “pertama kali lakukan “y” kemudian lakukan “x” ” sehingga “a””b” adalah aksi MHB ®MBH®BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan “e” untuk aksi “ biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam [[permutasi]] dari himpunan tiga blok sebagai berikut : e : MHB ® MHB * a : MHB ® HMB b : MHB ® MBH ab : MHB ® BMH ba : MHB ® HBM aba : MHB ® BHM Perhatikan bahwa aksi “a””a” akan menyebabkan MHB ® HMB ® MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan “a””a” = “e”. Baris 108: untuk persamaan “a””y” = “b”. Ungkapan “ “a”1”a”2...”a”n ” tidak ambigius karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung. Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik : (“a””b”)-1 = “b”-1 *”a”-1. Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari [[teori grup elementer]].

Grup (matematika): Perbedaan antara revisi