Teori kategori: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Perubahan kosmetik tanda baca |
Penambahan contoh, perbaikan definisi |
||
Baris 1:
[[Berkas:Commutative diagram for morphism.svg|ka|jmpl|200px|Teori kategori. Sebuah kategori dengan objek ''X'', ''Y'', ''Z'', dan morfisme ''f'', ''g'', ''g'' ∘ ''f'', dan tiga
'''Teori kategori''' berhubungan dengan struktur [[matematika]] dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh [[Samuel Eilenberg]] dan [[Saunders Mac Lane]] pada tahun [[1942]]-[[1945]], dalam hubungannya dengan topologi [[aljabar]].
== Definisi Kategori ==
Suatu kategori <math> \mathcal{C} </math> terdiri atas:
* Suatu kelas Obj(<math> \mathcal{C} </math>) yang berisi objek dari kategori tersebut
* Untuk sebarang <math> A, B \in </math> Obj(<math> \mathcal{C} </math>) terdapat suatu himpunan morfisma Hom(<math>A,B</math>) yang berisi morfisma atau panah dari objek <math> A </math> ke objek <math> B </math> dengan sifat:
** Komposisi Morfisma. Kita bisa menggabungkan dua
** Morfisma Identitas. Untuk setiap <math>A \in</math> Obj(<math>\mathcal{C}</math>), terdapat morfisma identitas <math>1_A : A \rightarrow A</math> yang untuk sebarang morfisma <math>f \in </math> Hom(<math>A,B</math>) memenuhi <math>f1_A = f</math> dan <math>1_B f = f </math>
Suatu kategori <math> \mathcal{C} </math> dikatakan sebagai '''kategori kecil''' jika Obj(<math>\mathcal{C}</math>) adalah suatu [[himpunan]].
== Contoh Kategori ==
Dari pendefinisian kategori, terasa alami untuk mendefinisikan suatu kategori '''SET''' dengan Obj('''SET''') adalah kelas yang berisi semua himpunan dan untuk sebarang himpunan <math>A,B \in </math> Obj('''SET''') kita punyai Hom(<math>A,B</math>) fungsi dari himpunan <math>A</math> ke himpunan <math>B</math>. Perhatikan bahwa kategori '''SET''' bukanlah sebuah kategori kecil dikarenakan koleksi dari seluruh himpunan bukanlah suatu himpunan (untuk menghindari paradoks Russel)
Beberapa contoh lain dari kategori diberikan pada tabel berikut
{| class="wikitable"
!Kategori
!Objek
!Morfisma
|-
|'''Grp'''
|Grup
|Homomorfisma Grup
|-
|'''Man'''<sup>''p''</sup>
|Manifold mulus
|Pemetaan yang terdiferensialkan kontinu ''p''-kali
|-
|'''Met'''
|Ruang Metrik
|Pemetaan metrik
|-
|'''R-Mod'''
|R-Modul, dengan R suatu gelanggang
|Homomorfisma modul
|-
|'''Ring'''
|Gelanggang
|Homomorfisma gelanggang
|-
|'''Top'''
|Ruang Topologi
|Fungsi kontinu
|-
|'''Vect'''<sub>''K''</sub>
|Ruang vektor atas lapangan ''K''
|Pemetaan linier
|}
▲* Komposisi. Kita bisa menggabungkan dua fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan g o f.
{{math-stub}}
| |||