Grup permutasi: Perbedaan antara revisi

Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>. <ref name = "inh" />

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref name="strukal_ab" /> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). <ref>{{Cite book|edition=3rd ed|title=A first course in abstract algebra : with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/61309485|publisher=Pearson Prentice Hall|date=2006|location=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0131862677|oclc=61309485|last=Rotman, Joseph J., 1934-}}</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. <ref name="inh" /> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik. <ref name="inh" />