Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
|||
Baris 32:
Generalisasi teorema ini adalah [[Hukum kosinus|hukum cosinus]], yang memungkinkan perhitungan panjang setiap sisi dari segitiga apa pun, mengingat panjang dua sisi lainnya dan sudut di antara keduanya. Jika sudut antara sisi lain adalah sudut kanan, hukum cosinus mereduksi menjadi persamaan Pythagoras.
== Bukti teorema lainnya ==
Teorema ini mungkin memiliki bukti lebih dikenal daripada yang lain (hukum timbal balik kuadrat menjadi pesaing lain untuk perbedaan itu); buku ''The Pythagoras Proposition'' berisi 370 bukti.<ref>{{Cite journal|date=2020-05-26|title=Pythagorean theorem|url=https://en.wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Pythagorean_theorem&oldid=958899723|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>
=== Bukti menggunakan segitiga serupa ===
[[Berkas:Pythagoras_similar_triangles_simplified.svg|jmpl|Bukti menggunakan segitiga serupa]]
Bukti ini didasarkan pada [[Kesebandingan (matematika)|Kesebandingan]] sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa [[rasio]] dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.
Biarkan ABC mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di C, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar ketinggian dari titik C, dan panggil H persimpangan dengan sisi AB. Titik H membagi panjang sisi miring c menjadi bagian d dan e. ACH segitiga baru mirip dengan segitiga ABC, karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada A, yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga CBH juga mirip dengan ABC. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan postulat segitiga: jumlah sudut dalam segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan postulat paralel. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:
: <math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ and } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
The first result equates the [[Cosine|cosines]] of the angles ''θ'', whereas the second result equates their [[Sine|sines]].
These ratios can be written as
: <math>BC^2 = AB \times BH \text{ and } AC^2=AB \times AH. </math>
Summing these two equalities results in
: <math>BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB\times(AH+BH)=AB^2 ,</math>
which, after simplification, expresses the Pythagorean theorem:
: <math>BC^2+AC^2=AB^2 \ .</math>
The role of this proof in history is the subject of much speculation. The underlying question is why Euclid did not use this proof, but invented another. One conjecture is that the proof by similar triangles involved a theory of proportions, a topic not discussed until later in the ''Elements'', and that the theory of proportions needed further development at that time.<ref>{{Harv|Maor|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false 39]}}</ref><ref name="Hawking">{{cite book|url=https://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12|title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history|author=Stephen W. Hawking|publisher=Running Press Book Publishers|year=2005|isbn=0-7624-1922-9|location=Philadelphia|page=12}} This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.</ref>
== Lihat pula ==
| |||