Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Hanya kesalahan pengetikan saja. |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Dibuat dengan menerjemahkan halaman "Squared triangular number" |
||
Baris 1:
[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Kotak yang panjang sisinya adalah angka segitiga dapat dipartisi menjadi kotak dan setengah kotak yang luasnya menambah kubus. Dari {{Harvard citation text|Gulley|2010}} . ]]
Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math><math>n</math> [[Pangkat tiga|kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[
: <math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>
Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis:
Baris 12:
== Sejarah ==
Pada akhir Bab 20 dari ''Pengantar Aritmatika'' (''Introduction to Arithmetic''), Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan seterusnya. Dia tidak melangkah lebih jauh dari ini, tetapi dari sini mendapatkan kesimpulan bahwa: ''jumlah dari'' ''<math>n^3</math> pertama sama dengan jumlah dari yang pertama <math>\frac{n(n+1)}{2}</math><math>\frac{n(n+1)}{2}</math> bilangan ganjil, yaitu, angka ganjil dari 1 hingga <math>n(n+1)-1</math>''. Rata-rata pada bilangan tersebut jelas <math>\frac{n(n+1)}{2} </math>, dan ada <math>\frac{n(n+1)}{2} </math> dari mereka, jadi jumlahnya adalah <math>\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
Awalnya, banyak matematikawan telah mempelajari dan membuktikan tentang teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan: "''setiap orang yang mempelajari teorema bilangan pasti akan kagum dengan fakta ajaib ini''".{{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di tempat yang sekarang di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M, tetapi juga pada orang-orang [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan pada orang-orang dari [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa tambahan awal karya matematika pada rumus ini, oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] (Arab abad kesepuluh), [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] (sekitar tahun 1300 Prancis), dan [[Nilakantha Somayaji]] (sekitar 1500 India); ia memancarkan kembali tentang bukti visual Nilakantha.
Baris 29:
Misalkan <math>X,Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Kemudian, probabilitasnya adalah <math>W </math> menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math>, yaitu:
<math>\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}) </math>
Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas dengan <math>n^4</math>.
Baris 91:
* {{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's theorem}}
* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem]
[[Kategori:
[[Kategori:Category:Identitas matematika]]
[[Kategori:Category:Urutan bilangan bulat]]
[[Kategori:Category:Teorema Bilangan]]
[[Kategori:Matematika dasar]]
| |||