Distribusi Maxwell-Boltzmann: Perbedaan antara revisi

Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi ''g''_''i''. Dalam hal ini ''i'' akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan ''g''_''i'' yang memiliki energi ''E''_''i'' yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai [[fungsi partisi (mekanika statistik)|fungsi partisi]] kanonik.

 

Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh [[James Clerk Maxwell]] dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan [[Ludwig Boltzmann]]. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.

 

Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan [[teorema-H]] pada kesetimbangan dalam kerangka [[teori kinetik]].

 

 

Menggunakan ''p''² = 2''mE'', dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat [[# Distribusi untuk kecepatan|di bawah]]), kita mendapatkan persamaan distribusi energi:

Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis [[gas dalam kotak|gas kuantum]].

 

 

Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan ''f''_'''v''' sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh

Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki [[distribusi normal]] dengan rata-rata <math>\mu_{v_x} = \mu_{v_y} = \mu_{v_z} = 0</math> dan standar deviasi <math>\sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{\frac{kT}{m}}</math>, sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata <math> \mu_{\mathbf{v}} = {\mathbf{0}} </math> dan standar deviasi <math>\sigma_{\mathbf{v}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}</math>.

 

[[Berkas:MaxwellBoltzmann-en.svg|ka|jmpl|360px|Fungsi kecepatan kepadatan probabilitas kecepatan beberapa [[gas mulia]] es pada suhu 298,15 K (25 ° C). Dimana ''y''-axis adalah dalam s / m sehingga daerah di bawah setiap bagian dari kurva (yang merupakan probabilitas dari kecepatan berada di kisaran itu) adalah tidak berdimensi.]]

 

Kita sering kali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata-rata partikel daripada distribusi sebenarnya. Kecepatan rata-rata, kecepatan yang paling mungkin (mode), dan akar kuadrat rata-rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell.

 

 

Kecepatan relatif diartikan sebagai <math>u = {v \over v_p}</math>, dimana <math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }</math> adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul.

 

 

Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita sering kali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata-rata daripada distribusi keseluruhan.

:<math> 0.886 \langle v \rangle = v_p < \langle v \rangle < v_\mathrm{rms} = 1.085 \langle v \rangle.</math>

 

[[Berkas:Plot showing Maxwell-Juttner distribution (relativistic Maxwellian) for electron gas at different temperatures.png|jmpl|ka| 400px | Distribusi kecepatan Maxwell–Juttner (Relativistik Maxwellian)untuk gas elektron pada temperatur yang berbeda]]