Sistem koordinat bola: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 6:
Dalam [[matematika]], '''Sistem Koordinat Bola''' adalah sistem koordinat untuk ruang [[tiga dimensi]] di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari [[jarak radial]] titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika [[sudut azimut]] tersebut dari hasil proyeksi [[ortogonal]] pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.
== Persamaan pada Sistem Koordinat Bola ==
[[Berkas:Sphere and Ball.png|ka|jmpl|Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola]]
{{Lihat pula|Bola (geometri)}}
Dalam geometri analitik , bola dengan pusat {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}} dan jari jari {{mvar|r}} adalah lokus titik {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} sedemikian rupa sehingga
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>
biarkan {{mvar|a, b, c, d, e}} [[bilangan real]] dengan sebuah {{math|''a'' ≠ 0}} dan put
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54 />
Jika {{mvar|a}} dalam persamaan di atas adalah nol maka {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>
Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi,\; 0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>
[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.
Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>
Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,{{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} dan {{math|(''dx'', ''dy'', ''dz'')}}, yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.
Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref>
== Konveksi utama ==
| |||