|
== Dalam kalkulus ==
{{stub|}}
[[Berkas:Taylorsine.svg|thumb|right|Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan fungsi [[Teorema Taylor|polinomial Taylor]] derajat 7 (merah muda) untuk siklus penuh yang berpusat pada asal.]]
[[Berkas:Taylor cos.gif|thumb|Animasi untuk pendekatan kosinus melalui polinomial Taylor.]]
[[Berkas:Taylorreihenentwicklung des Kosinus.svg|thumb|<math>\cos(x)</math> bersama dengan polinomial Taylor pertama <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]
Fungsi trigonometri adalah [[fungsi terdiferensiasi|terdiferensiasi]]. Hal ini tidak langsung terbukti dari definisi geometris di atas. Apalagi tren modern dalam matematika. Therefore,Oleh exceptkarena atitu, akecuali verypada elementarytingkat level,yang trigonometricsangat functionsdasar, arefungsi definedtrigonometri usingdidefinisikan thedengan methodsmenggunakan ofmetode calculuskalkulus.
Untuk menentukan fungsi trigonometri di dalam kalkulus, ada dua kemungkinan yang setara, baik menggunakan [[deret pangkat]] atau [[persamaan diferensial]]. Definisi tersebut setara, karena mulai dari salah satunya, mudah untuk mengambil yang lain sebagai properti. Namun definisi melalui persamaan diferensial entah bagaimana lebih alami, karena, misalnya, pilihan koefisien deret pangkat mungkin tampak cukup sewenang-wenang, dan [[identitas Pythagoras]] jauh lebih mudah untuk disimpulkan dari persamaan diferensial.
===Definisi dengan persamaan diferensial===
<!--===Definition by differential equations===
Sinus dan kosinus adalah [[fungsi terdiferensiasi]] yang unik sedemikian rupa, yaitu
Sine and cosine are the unique [[differentiable function]]s such that
:<math>
\begin{align}
</math>
Diferensialkan persamaan tersebut agar orang mengetahui bahwa sinus dan kosinus adalah solusi dari [[persamaan diferensial]]
Differentiating these equations, one gets that both sine and cosine are solutions of the [[differential equation]]
:<math>y''+y=0.</math>
Menerapkan [[aturan hasil bagi]] ke definisi garis singgung sebagai hasil bagi dari sinus oleh kosinus, kita dapat mengetahui bahwa fungsi tangen memverifikasi
Applying the [[quotient rule]] to the definition of the tangent as the quotient of the sine by the cosine, one gets that the tangent function verifies
:<math>\frac{d}{dx}\tan x = 1+\tan^2 x.</math>
===PowerEkspansi seriesderet expansionpangkat===
ApplyingMenerapkan thepersamaan differentialdiferensial equations toke [[powerderet seriespangkat]] withdengan indeterminatekoefisien coefficientstak tentu, oneseseorang maydapat deducemenyimpulkan [[recurrencerelasi relationpengulangan]] s foruntuk the coefficients of thekoefisien [[Taylorderet seriesTaylor]] ofdari thesinus sinedan andkosinus cosine functionsfungsi. TheseRelasi recurrencepengulangan relationstersebut are easy to solve,mudah andterpecahkan givedan thememberikan seriesperluasan expansionsrangkaian<ref>SeeLihat Ahlfors, pp. 43–44.</ref>
:<math>
\begin{align}
</math>
[[Radius konvergensi]] dari deret tersebut tidak terbatas. Oleh karena itu, sinus dan kosinus dapat diperpanjang hingga [[seluruh fungsi]] (hal ini juga disebut "sinus" dan "kosinus"), yang (menurut definisi) [[fungsi bernilai kompleks]] yang didefinisikan dan [[holomorfik]] di seluruh [[bidang kompleks]].
The [[radius of convergence]] of these series is infinite. Therefore, the sine and the cosine can be extended to [[entire function]]s (also called "sine" and "cosine"), which are (by definition) [[complex-valued function]]s that are defined and [[holomorphic]] on the whole [[complex plane]].
BeingMendefinisikan definedsebagai aspecahan fractionsdari ofseluruh entire functionsfungsi, thefungsi other[[trigonometri]] trigonometriclainnya functionsdapat maydiperluas be extended tomenjadi [[meromorphicfungsi functionmeromorfik]]s, thatyaitu isfungsi functionsyang thatholomorfik aredi holomorphicseluruh inbidang thekompleks, wholekecuali complexbeberapa plane,titik exceptterisolasi someyang isolated points calleddisebut [[zerosnol anddan poleskutub|poleskutub]]. Here, the poles are the numbers of the form <math display="inline">(2k+1)\frac \pi 2</math> foruntuk thegaris tangentsinggung anddan thegaris secant,potong atau ornilai <math>k\pi</math> for the cotangentuntuk andkotangen thedan cosecantkosekan, wheredengan {{mvar|k}} isadalah anbilangan arbitrarybulat integerarbitrer.
RecurrencesRelasi relationspengulangan mayjuga alsodapat bedihitung computeduntuk for the coefficients of thekoefisien [[deret Taylor series]] ofdari thefungsi othertrigonometri trigonometric functionslainnya. TheseDeret seriesini have a finitememiliki [[konfergensi radius]] ofyang convergence]]terbatas. TheirKoefisien coefficientsmereka havememiliki ainterpretasi [[combinatoricskombinatorik|combinatorialkombinatorial]] interpretation: theymereka enumeratemenghitung [[alternatingpermutasi permutationbergantian]]s ofdari finitehimpunan setshingga.<ref>Stanley, EnumerativeKombinatorik CombinatoricsEnumeratif, Vol I., p. 149</ref>
Lebih tepatnya anda dapat mendefinisikan, yaitu
More precisely, defining
: {{mvar|U<sub>n</sub>}}, the {{mvar|n}}th adalah [[up/downangka numberatas/bawah]],
: {{mvar|B<sub>n</sub>}}, the {{mvar|n}}th [[nomor Bernoulli number]], anddan
: {{mvar|E<sub>n</sub>}}, is theadalah {{mvar|n}}th [[nomor Euler number]],
onesatu hasmemiliki theekspansi followingseri series expansionsberikut:<ref>Abramowitz; Weisstein.</ref>
: <math>
\begin{align}
</math>
ThereTerdapat isrepresentasi aderet series representation assebagai [[partialekspansi fractionpecahan expansionparsial]] whereyang justbaru translatedsaja diterjemahkan dari [[MultiplicativePembalikan inverseperkalian|reciprocalfungsi functiontimbal balik]]s are summed updijumlahkan, such that thesehingga [[Pole (complexanalisis analysiskompleks)|pole]]s of thedari cotangentfungsi functionkotangen anddan thefungsi reciprocaltimbal functionsbalik matchcocok:<ref name="Aigner_2000"/>
: <math>
\pi \cot \pi x = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}.
</math>
This identity can be proven with the [[Gustav Herglotz|Herglotz]] trick.<ref name="Remmert_1991"/>
CombiningMenggabungkan thenilai {{math|(–''n'')}}th withke thenilai {{math|''n''}}thistilah termtersebut leadmengarah topada rangkaian [[absolutekonvergensi convergenceabsolut|absolutely convergentkonvergen]], seriesyaitu:
:<math>
\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}\ , \quad \frac{\pi}{\sin \pi x} = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2}.
</math>
===InfiniteEkspansi productproduk expansiontanpa batas===
Produk tak terbatas berikut untuk sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yaitu:
The following infinite product for the sine is of great importance in complex analysis:
:<math>\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
Untuk bukti pemuaian (lihat [[Sinus#Pecahan parsial dan ekspansi hasil kali sinus kompleks|Sinus]]). Dari sini, dapat disimpulkan bahwa
For the proof of this expansion, see [[Sine#Partial fraction and product expansions of complex sine|Sine]]. From this, it can be deduced that
:<math>\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\left(n-\frac12\right)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
===Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)===
===Relationship to exponential function (Euler's formula)===
[[FileBerkas:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|thumb|<math>\cos(\theta)</math> anddan <math>\sin(\theta)</math> areadalah thebagian realnyata anddan imaginaryimajiner partpada ofnilai <math>e^{i\theta}</math> respectively.]]
[[Rumus Euler's formula]] relates sinemenghubungkan andsinus cosinedan tokosinus thedengan [[exponentialfungsi functioneksponensial]]:
:<math> e^{ix} = \cos x + i\sin x. </math>
ThisRumus formulaini isbiasanya commonlydianggap considereduntuk fornilai realnyata values ofdari {{mvar|x}}, but ittetapi remainstetap truebenar foruntuk allsemua complexnilai valueskompleks.
''ProofBukti'': LetJika nilai <math>f_1(x)=\cos x + i\sin x,</math> anddan <math>f_2(x)=e^{ix}.</math> Onedan hasmemiliki nilai <math display="inline">\frac{d}{dx}f_j(x)= if_j(x)</math> fordari {{math|1=''j'' = 1, 2}}. The [[quotientAturan rulehasil bagi]] implies thusmenyiratkan thatdemikian <math display="inline">\frac{d}{dx}\left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)=0</math>. ThereforeKarena itu, <math display="inline">\frac{f_1(x)}{f_2(x)}</math> isadalah afungsi constantkonstan function,yang whichsama equalspada nilai {{val|1}}, assebagai nilai <math>f_1(0)=f_2(0)=1.</math> ThisHal provesini themembuktikan formularumusnya.
Hal ini memiliki rumus:
One has
:<math>\begin{align}
e^{ix} &= \cos x + i\sin x\\[5pt]
\end{align}</math>
Memecahkan [[sistem linier]] tersebut dalam sinus dan kosinus, seseorang dapat mengekspresikannya dalam fungsi eksponensial:
Solving this [[linear system]] in sine and cosine, one can express them in terms of the exponential function:
: <math>\begin{align}\sin x &= \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}\\[5pt]
\cos x &= \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}.
\end{align}</math>
WhenDarimana nilai {{mvar|x}} isadalah bilangan real, thishal mayini bedapat rewrittenditulis asulang sebagai
: <math>\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right), \qquad \sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right).</math>
Sebagian besar [[Daftar identitas trigonometri|identitas trigonometri]] dapat dibuktikan dengan menyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk eksponensial kompleks berfungsi dengan menggunakan rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas <math>e^{a+b}=e^ae^b</math> untuk menyederhanakan hasil.
Most [[List of trigonometric identities|trigonometric identities]] can be proved by expressing trigonometric functions in terms of the complex exponential function by using above formulas, and then using the identity <math>e^{a+b}=e^ae^b</math> for simplifying the result.
===Definisi menggunakan persamaan fungsional===
===Definitions using functional equations===
Fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai [[persamaan fungsional]].
One can also define the trigonometric functions using various [[functional equation]]s.
ForSebagai examplecontoh,<ref name="Kannappan_2009"/> thesinus sinedan andkosinus themembentuk cosinepasangan form the unique pair ofunik [[continuousfungsi functionkontinu]] s that satisfyyang thememenuhi differencerumus formulaselisih
: <math>\cos(x- y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\,</math>
and the added condition
: <math>0 < x\cos x < \sin x < x\quad\text{ fordari }\quad 0 < x < 1.</math>
===InDi thebidang complex planekompleks===
TheSinus sinedan andkosinus cosinedari of asebuah [[complexbilangan numberkompleks]] <math>z=x+iy</math> candapat bediekspresikan expresseddalam inbentuk terms of real sinessinus, cosineskosinus, and dan [[hyperbolicfungsi functionhiperbolik]]s asnyata sebagai followsberikut:
: <math>\begin{align}\sin z &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\\[5pt]
\cos z &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\end{align}</math>
Dengan memanfaatkan [[pewarnaan domain]], dimungkinkan untuk membuat grafik fungsi trigonometri sebagai fungsi bernilai kompleks. Berbagai fitur unik untuk fungsi kompleks dapat dilihat dari grafik; misalnya, fungsi sinus dan cosinus dapat dilihat tidak terbatas sebagai bagian imajiner nilai <math>z</math> menjadi lebih besar (karena warna putih mewakili tak terhingga), dan fakta bahwa fungsi berisi nilai [[Nol dan kutub|nol atau kutub]] terlihat dari fakta bahwa siklus warna mengelilingi masing-masing fungsi. Membandingkan grafik tersebut dengan cara grafik dari fungsi Hiperbolik yang sesuai akan menyoroti hubungan antara keduanya.
By taking advantage of [[domain coloring]], it is possible to graph the trigonometric functions as complex-valued functions. Various features unique to the complex functions can be seen from the graph; for example, the sine and cosine functions can be seen to be unbounded as the imaginary part of <math>z</math> becomes larger (since the color white represents infinity), and the fact that the functions contain simple [[Zeros and poles|zeros or poles]] is apparent from the fact that the hue cycles around each zero or pole exactly once. Comparing these graphs with those of the corresponding Hyperbolic functions highlights the relationships between the two.
{| style="text-align:center"
|+ '''TrigonometricFungsi functionstrigonometri indalam thebidang complex planekompleks'''
|[[FileBerkas:Complex sin.jpg|1000x136px|none]]
|[[FileBerkas:Complex cos.jpg|1000x136px|none]]
|[[FileBerkas:Complex tan.jpg|1000x136px|none]]
|[[FileBerkas:Complex Cot.jpg|1000x136px|none]]
|[[FileBerkas:Complex Sec.jpg|1000x136px|none]]
|[[FileBerkas:Complex Csc.jpg|1000x136px|none]]
|-
|<math>
\csc z\,
</math>
|}-->
== Identitas dasar ==
| 