Fungsi trigonometri: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 422:
|}
== Identitas dasar ==
[[Identitas (matematika)|Identitas]] yang berhubungan dengan fungsi trigonometri merupakan bagian dari dasar untuk lebih banyak identitas (lihat [[Daftar identitas trigonometri]]). Identitas tersebut dapat dibuktikan secara geometris dari definisi lingkaran satuan atau definisi segitiga siku-siku (meskipun untuk definisi yang terakhir hati-hati anda harus diberikan untuk sudut yang tidak dalam interval {{math|[0, {{pi}}/2]}}, lihat [[Bukti identitas trigonometri]]). Untuk pembuktian non-geometris yang hanya menggunakan perkakas [[kalkulus]], seseorang dapat menggunakan persamaan diferensial secara langsung, dengan cara yang mirip dengan [[#Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)|bukti]] identitas Euler. Anda juga dapat menggunakan identitas Euler untuk mengekspresikan semua fungsi trigonometri dalam istilah eksponensial kompleks dan menggunakan properti fungsi eksponensial.
===Keseimbangan===
Kosinus dan garis potongan adalah [[fungsi genap]]; fungsi trigonometri lainnya adalah [[fungsi ganjil]]. Rumus nya adalah:
:<math>\begin{align}
\sin(-x) &=-\sin x\\
\cos(-x) &=\cos x\\
\tan(-x) &=-\tan x\\
\cot(-x) &=-\cot x\\
\csc(-x) &=-\csc x\\
\sec(-x) &=\sec x.
\end{align}</math>
===Periode===
Semua fungsi trigonometri adalah [[fungsi periodik]] periode {{math|2{{pi}}}}. Ini adalah periode terkecil, kecuali untuk tangen dan kotangen, yang memiliki nilai {{pi}} sebagai periode terkecil. Artinya, untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}}, satu memiliki
:<math>\begin{align}
\sin (x+2k\pi) &=\sin x\\
\cos (x+2k\pi) &=\cos x\\
\tan (x+k\pi) &=\tan x\\
\cot (x+k\pi) &=\cot x\\
\csc (x+2k\pi) &=\csc x\\
\sec (x+2k\pi) &=\sec x.
\end{align}</math>
===Identitas Pythagoras===
[[Identitas Pythagoras]], adalah ekspresi dari [[Teorema Pythagoras]] dalam hal fungsi trigonometri. ini
:<math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1 . </math>
===Rumus penjumlahan dan perbedaan===
Rumus penjumlahan dan perbedaan memungkinkan perluasan sinus, kosinus, dan garis singgung penjumlahan atau selisih dua sudut dalam kaitannya dengan sinus dan cosinus serta garis singgung dari sudut itu sendiri. Ini dapat diturunkan secara geometris, menggunakan argumen yang berasal dari [[Ptolemy]]. Seseorang juga dapat memproduksinya secara aljabar menggunakan [[rumus Euler]].
; Jumlah
:<math>\begin{align}
\sin\left(x+y\right)&=\sin x \cos y + \cos x \sin y,\\
\cos\left(x+y\right)&=\cos x \cos y - \sin x \sin y,\\
\tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x\tan y}.
\end{align}</math>
; Perbedaan
:<math>\begin{align}
\sin\left(x-y\right)&=\sin x \cos y - \cos x \sin y, \\
\cos\left(x-y\right)&=\cos x \cos y + \sin x \sin y,\\
\tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x\tan y}.
\end{align}</math>
Ketika dua sudut sama, rumus penjumlahan disederhanakan menjadi persamaan yang lebih sederhana yang dikenal sebagai '''rumus sudut ganda'''.
:<math>\begin{align}
\sin 2x &= 2 \sin x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}, \\
\cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x},\\
\tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}.
\end{align}</math>
Identitas ini dapat digunakan untuk mendapatkan [[Indentitas produk ke deret]].
<!--By setting <math>\theta=2x</math> and <math>t=\tan x,</math> this allows expressing all trigonometric functions of <math>\theta</math> as a [[rational fraction]] of <math display="inline">t=\tan \frac{\theta}{2}</math>:-->
:<math>\begin{align}
\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\
\cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}.
\end{align}</math>
Together with
:<math>d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt,</math>
Rumus tersebut adalah [[substitusi setengah sudut tangen]], yang memungkinkan pengurangan komputasi [[integral]] s dan [[antiturunan]] fungsi trigonometri menjadi pecahan rasional.
===Turunan dan antiturunan===
[[Turunan]] fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan [[aturan hasil bagi]]. Nilai yang diberikan untuk [[antiderivatif]] dalam tabel berikut dapat diverifikasi dengan membedakannya. Angka pada {{mvar|C}} adalah [[konstanta integrasi]].
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
f(x) &
f'(x) &
\int f(x)\,dx \\
\hline
\sin x &
\cos x &
-\cos x + C \\
\cos x &
-\sin x &
\sin x + C \\
\tan x &
\sec^2 x = 1+\tan^2 x &
-\ln \left( |\cos x|\right ) + C \\
\cot x &
-\csc^2 x = -(1+\cot^2 x) &
\ln \left (|\sin x|\right ) + C \\
\sec x &
\sec x\tan x &
\ln \left (|\sec x + \tan x|\right ) + C \\
\csc x &
-\csc x \cot x &
-\ln \left (|\csc x + \cot x|\right ) + C \\
\hline
\end{array}
</math>
== Fungsi terbalik ==
== Aplikasi ==
| |||