Deret Fourier: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 6:
Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan [[fisika]] dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang [[teknik elektro]], analisis [[vibrasi]], [[akustika]], [[optika]], [[pengolahan citra]], [[mekanika kuantum]], dan lain-lain.
==
Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, <math>s(x)</math>, yaitu [[integral Riemann|integrable]] pada interval panjang <math>P</math>, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:
:<math>x \in [-\pi,\pi],</math> dan <math>P=2\pi.</math>
'''Analisis''' proses menentukan bobot, diindeks dengan integer <math>n</math>, yang merupakan jumlah siklus nilai <math>n^\text{th}</math> harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan <math>x</math>, ialah <math>P/n</math>. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah <math>n/P</math>. <math>n^{th}</math> harmonik nilai <math>\sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math> dan <math>\cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math>, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang <math>P</math>:<ref>{{cite book | last1 = Dorf| first1 = Richard C. | first2 = Ronald J. | last2 = Tallarida | title =Buku Saku Rumus Teknik Elektro | publisher =CRC Press | edition =1 | date =1993-07-15 | location =Boca Raton,FL | pages =171–174 | isbn =0849344735 }}</ref>
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Koefisien Fourier'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
a_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot \cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx\\
b_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot \sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx.
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
:*Jika nilai <math>s(x)</math> ialah nilai <math>P</math> dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
:*Nilai <math>a_0</math> dan <math>b_0</math> dapat direduksi menjadi nilai <math>a_0 = \frac{2}{P} \int_P s(x) \, dx</math> dan <math>b_0 = 0</math>.
:*Banyaknya teks memilih nilai <math>P=2\pi</math> untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.
Proses '''sintesis''' (Deret Fourier sebenarnya) adalah:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
s_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(a_n \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + b_n \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P} \right) \right).
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Secara umum, integer pada nilai <math>N</math> secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama <math>s(x)</math> di semua nilai <math>x</math> (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.
[[Berkas:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|Jika <math>s(t)</math> adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang <math>P</math> (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak (<math>A_n</math>) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari <math>s(t).</math> Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik <math>s(t),</math> sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis <math>s(t).</math>]]
Menggunakan identitas trigonometri:
:<math>A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right) \ \equiv \ \underbrace{A_n \cos(\varphi_n)}_{a_n}\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + \underbrace{A_n \sin(\varphi_n)}_{b_n}\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right),</math>
dan definisi nilai <math>A_n \triangleq \sqrt{a_n^2+b_n^2}</math> dan <math>\varphi_n \triangleq \operatorname{arctan2}(b_n,a_n)</math>,
pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk fase amplitudo'''
|equation = {{NumBlk||<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right).</math>|{{EquationRef|Eq.3}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks <math>s(x)</math> (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan [[rumus Euler]] untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, [[konjugasi kompleks|konjugasi kompleks]] dilambangkan dengan tanda bintang:
:<math>
\begin{array}{lll}
\cos\left( \tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right) &{}\equiv \tfrac{1}{2}e^{ i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)} & {} + \tfrac{1}{2}e^{-i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)}\\
&=\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right) \cdot e^{i \tfrac{2\pi (+n)x}{P}} &{}+\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right)^* \cdot e^{i \tfrac{2\pi (-n)x}{P}}.
\end{array}
</math>
Oleh karena itu, dengan definisi:
:<math>c_n \triangleq \left\{
\begin{array}{lll}
A_0/2 &= a_0/2, \quad & n = 0\\
\tfrac{A_n}{2} e^{-i \varphi_n} &= \tfrac{1}{2}(a_n -i b_n), \quad & n > 0\\
c_{|n|}^*, \quad && n < 0
\end{array}\right\}\quad =\quad \frac{1}{P}\int_P s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,
</math>
hasil akhirnya adalah:
{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk eksponensial'''
|equation = {{NumBlk||<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>|{{EquationRef|Eq.4}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
==Fungsi bernilai kompleks==
Jika nilai <math>s(x)</math> adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata <math>x,</math> kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:
:<math>c_{_{Rn}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math> and <math>c_{_{In}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math>
:<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{Rn}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} + i\cdot \sum_{n=-N}^N c_{_{In}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} =\sum_{n=-N}^N \left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right) \cdot e^{ i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>
Mendefinisikan nilai <math>c_n \triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}</math> menghasilkan:
{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n \cdot e^{ i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>|{{EquationRef|Eq.5}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
Hal tersebut identik dengan {{EquationNote|Eq.4}} selain nilai <math>c_n</math> dan <math>c_{-n}</math> bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai <math>c_n</math> juga tidak berubah:
:<math>
\begin{align}
c_n &= \frac{1}{P}\int_{P} \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx + i\cdot \frac{1}{P} \int_{P} \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx\\[4pt]
&= \frac{1}{P} \int_{P} \left(\operatorname{Re}\{s(x)\} +i\cdot \operatorname{Im}\{s(x)\}\right)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx \ = \ \frac{1}{P}\int_{P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx.
\end{align}
</math>
==Notasi umum lainnya==
Notasi pada nilai <math>c_n</math> tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi (<math>s</math>, dalam kasus ini), seperti <math>\hat{s}(n)</math> atau <math>S[n]</math>, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:
:<math>\begin{align}
s_\infty(x) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{s}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P} && \scriptstyle \mathsf{common\ engineering\ notation}
\end{align}</math>
<!--In engineering, particularly when the variable <math>x</math> represents time, the coefficient sequence is called a [[frequency domain]] representation. Square brackets are often used to emphasize that the domain of this function is a discrete set of frequencies.-->
Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi [[sisir Dirac]]:
:<math>S(f) \ \triangleq \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),</math>
dari mana <math>f</math> mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel <math>x</math> memiliki satuan detik, <math>f</math> memiliki satuan [[hertz]]. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu [[harmonik]]) dari nilai <math>1/P</math>, yang disebut [[frekuensi dasar]]. <math>s_{\infty}(x)</math> dapat dipulihkan dari representasi ini dengan [[Teorema inversi Fourier|transformasi Fourier terbalik]]:
:<math>\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} &= \int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right)\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \int_{-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{n}{P}\right) e^{i 2 \pi f x}\,df, \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \ \ \triangleq \ s_\infty(x).
\end{align}</math>
Fungsi yang dibangun pada nilai <math>S(f)</math> oleh karena itu biasanya disebut sebagai '''Transformasi Fourier''', meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.{{efn-ua|
Karena integral yang mendefinisikan transformasi Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen, penting untuk melihat fungsi periodik dan transformasinya sebagai [[Distribusi (matematika) | distribusi]]. Dalam arti ini <math>\mathcal{F} \{ e^{i \frac{2\pi nx}{P} } \}</math> adalah [[Fungsi delta Dirac]], yang merupakan contoh distribusi.
}}
{{Gallery|width=150 | height=150 |lines=2 |align=right
|Berkas:Fourier Series.svg|
Empat jumlah parsial pertama dari deret Fourier untuk [[gelombang persegi]]
|Berkas:SquareWaveFourierArrows%2Crotated.gif
}}
== Konvergen ==
| |||