Deret Fourier: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 96:
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
===Konvergensi===
{{main|Konvergensi Deret Fourier}}
Dalam aplikasi [[rekayasa]], deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika <math>s</math> kontinu dan turunan dari <math>s(x)</math> (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier <math>s</math> menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai <math>s(x)</math>.<ref>{{cite book |title=Deret Fourier |first=Georgi P. |last=Tolstov |publisher=Courier-Dover |year=1976 |isbn=0-486-63317-9 |url=https://books.google.com/?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function}}</ref> Jika suatu fungsi adalah [[Fungsi terintegrasi persegi|integral-persegi]] pada interval <math>[x_0,x_0+P]</math>, kemudian deret Fourier [[Teorema Carleson|menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik]]. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu [[Kondisi dirichlet|Kondisi dirichlet untuk deret Fourier]]. Lihat [[Konvergensi seri Fourier]]. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau [[Konvergensi lemah (ruang Hilbert)|konvergensi lemah]] biasanya berupa inte.
<gallery widths="256" heights="256">
Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif|link={{filepath:Fourier_series_square_wave_circle_animation.svg}}|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang persegi meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_square_wave_circle_animation.svg}} (animasi)]
Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif|link={{filepath:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg}}|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang gigi gergaji meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg}} (animasi)]
Example_of_Fourier_Convergence.gif |Contoh konvergensi ke fungsi yang agak sewenang-wenang. Perhatikan perkembangan "dering" (fenomena Gibbs) pada transisi ke / dari bagian vertikal.
</gallery>
Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 here.]
== Contoh ==
===Contoh 1: Deret Fourier sederhana===
[[Berkas:sawtooth pi.svg|thumb|right|400px|Plot dari [[gelombang gigi gergaji]], kelanjutan periodik dari fungsi linier <math>s(x)=x/\pi</math> on the interval <math>(-\pi,\pi]</math>]]
[[Berkas:Periodic identity function.gif|thumb|right|400px|Plot animasi dari lima seri Fourier parsial pertama yang berurutan]]
Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji
:<math>s(x) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math>
:<math>s(x + 2\pi k) = s(x), \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi \text{ and } k \in \mathbb{Z} .</math>
Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh
:<math>\begin{align}
a_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\[4pt]
b_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\[4pt]
&= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\[4pt]
&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}</math>
Terbukti bahwa seri Fourier konvergen <math>s(x)</math> di setiap titik <math>x</math> dari mana <math>s</math> dapat dibedakan, dan karenanya:
{{NumBlk|:
|<math>\begin{align}
s(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\[4pt]
&=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbb{Z}.
\end{align}</math>
|{{EquationRef|Eq.7}}}}
Kapan nilai <math>x=\pi</math>, deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan ''s'' pada nilai <math>x=\pi</math>. Ini adalah contoh khusus dari [[Konvergensi deret Fourier#Konvergensi pada titik tertentu|Teorema Dirichlet]] untuk deret Fourier.
[[Berkas:Fourier heat in a plate.png|thumb|right|Distribusi panas dalam pelat logam, menggunakan metode Fourier]]
Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk [[Masalah Basel]].
===Contoh 2: Motivasi Fourier===
Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai <math>s(x)=x/ \pi</math>, jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan [[persamaan panas]]. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran <math>\pi</math> meter, dengan koordinat <math>(x,y) \in [0,\pi] \times [0,\pi]</math>. Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai <math>y=\pi</math>, dipertahankan pada gradien suhu <math>T(x,\pi)=x</math> derajat Celsius, untuk <math>x</math> pada nilai <math>(0,\pi)</math>, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh
: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>
Di sini, sin adalah fungsi [[sinus hiperbolik]]. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan {{EquationNote|Eq.7}} menurut nilai <math>\sinh(ny)/\sinh(n\pi)</math>.<!--While our example function <math>s(x)</math> seems to have a needlessly complicated Fourier series, the heat distribution <math>T(x,y)</math> is nontrivial. The function <math>T</math> cannot be written as a [[closed-form expression]]. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work.-->
===Aplikasi lain===
Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan [[Masalah Basel]] dengan menggunakan [[Teorema Parseval]]. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung [[Fungsi Riemann zeta|ζ]](2''n''), untuk bilangan bulat positif apa pun nilai ''n''.
== Properti ==
===Tabel properti dasar===
Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:
* <math>z^{*}</math> adalah [[konjugasi kompleks]] dari fungsi <math>z</math>.
* <math>f(x),g(x)</math> menunjuk <math> P </math> -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi <math>0 < x \le P </math>.
* <math>F[n], G[n]</math> tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi <math>f</math> dan <math>g</math> seperti yang didefinisikan dalam persamaan {{EquationNote|Eq.5}}.
{| class="wikitable"
|-
! Properti
! Domain waktu
! Domain frekuensi (bentuk eksponensial)
! Catatan
! Referensi
|-
| Linearitas
| <math>a\cdot f(x) + b\cdot g(x)</math>
| <math>a\cdot F[n] + b\cdot G[n]</math>
| bilangan kompleks <math>a,b</math>
|
|-
| Pembalikan waktu / Pembalikan frekuensi
| <math>f(-x)</math>
| <math>F[-n]</math>
|
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|-
| Konjugasi waktu
| <math>f(x)^*</math>
| <math>F[-n]^*</math>
|
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|-
| Pembalikan waktu & konjugasi
| <math>f(-x)^*</math>
| <math>F[n]^*</math>
|
|
|-
| Bagian nyata dalam waktu
| <math>\operatorname{Re}{(f(x))}</math>
| <math>\frac{1}{2}(F[n] + F[-n]^*)</math>
|
|
|-
| Bagian waktu imajiner
| <math>\operatorname{Im}{(f(x))}</math>
| <math>\frac{1}{2i}(F[n] - F[-n]^*)</math>
|
|
|-
| Bagian nyata dalam frekuensi
| <math>\frac{1}{2}(f(x)+f(-x)^*)</math>
| <math>\operatorname{Re}{(F[n])}</math>
|
|
|-
| Bagian imajiner dalam frekuensi
| <math>\frac{1}{2i}(f(x)-f(-x)^*)</math>
| <math>\operatorname{Im}{(F[n])}</math>
|
|
|-
| Pergeseran waktu / modulasi frekuensi
| <math>f(x-x_0)</math>
| <math>F[n] \cdot e^{-i\frac{2\pi x_0}{T}n}</math>
| real number <math>x_0</math>
| <ref name=Shmaliy>{{cite book | author=Shmaliy, Y.S.| title=Continuous-Time Signals| publisher=Springer | year=2007 | isbn=1402062710}}</ref>{{rp|p. 610}}
|-
| Pergeseran frekuensi / Modulasi dalam waktu
| <math>f(x) \cdot e^{i\frac{2\pi n_0}{T}x}</math>
| <math>F[n-n_0] \!</math>
| integer <math>n_0</math>
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|}
=== Properti simetri ===
Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi [[Fungsi genap dan ganjil#Genap–ganjil|bagian genap dan ganjil]], ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan subskrip RE, RO, IE, dan IO. Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:<ref name="ProakisManolakis1996">{{cite book|last1=Proakis|first1=John G. |last2=Manolakis|first2=Dimitris G.|author2-link= Dimitris Manolakis |title=Pemrosesan Sinyal Digital: Prinsip, Algoritma, dan Aplikasi|url=https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa|url-access=registration|year=1996|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-373762-2|edition=3rd|p=[https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa/page/291 291]}}</ref>
: <math>
\begin{array}{rccccccccc}
\text{Domain waktu} & f & = & f_{_{\text{RE}}} & + & f_{_{\text{RO}}} & + & i f_{_{\text{IE}}} & + &\underbrace{i\ f_{_{\text{IO}}}} \\
&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\
\text{Frequency domain} & F & = & F_{RE} & + & \overbrace{i\ F_{IO}} & + &i\ F_{IE} & + & F_{RO}
\end{array}
</math>
<!--Dari sini, berbagai hubungan terlihat, misalnya:
*The transform of a real-valued function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''f''{{sub|{{sub|RO}}}}}}) is the [[Even and odd functions#Complex-valued functions|even symmetric]] function {{math|F{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IO}}}}}}. Conversely, an even-symmetric transform implies a real-valued time-domain.
*The transform of an imaginary-valued function ({{math|''i'' ''f''{{sub|{{sub|IE}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IO}}}}}}) is the [[Even and odd functions#Complex-valued functions|odd symmetric]] function {{math|F{{sub|{{sub|RO}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IE}}}}}}, and the converse is true.
*The transform of an even-symmetric function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IO}}}}}}) is the real-valued function {{math|F{{sub|{{sub|RE}}}}+ F{{sub|{{sub|RO}}}}}}, and the converse is true.
*The transform of an odd-symmetric function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RO}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IE}}}}}}) is the imaginary-valued function {{math|''i'' F{{sub|{{sub|IE}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IO}}}}}}, and the converse is true.-->
== Lemma Riemann–Lebesgue ==
Kalau <math>f</math> adalah [[integrable]] dari nilai <math>\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0</math>, <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0</math> and <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.</math> Hasil ini dikenal sebagai [[Riemann–Lebesgue lemma]].
== Properti turunan ==
<!-- [Dalam pengembangan] We say that <math>f</math> belongs to
<math>C^k(\mathbb{T})</math> if <math>f</math> is a 2{{pi}}-periodic function on <math>\mathbb{R}</math> which is <math>k</math> times differentiable, and its ''k''th derivative is continuous.
* If <math>f \in C^1(\mathbb{T})</math>, then the Fourier coefficients <math>\widehat{f'}(n)</math> of the derivative <math>f'</math> can be expressed in terms of the Fourier coefficients <math>\widehat{f}(n)</math> of the function <math>f</math>, via the formula <math>\widehat{f'}(n) = in \widehat{f}(n)</math>.
* If <math>f \in C^k(\mathbb{T})</math>, then <math>\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \widehat{f}(n)</math>. In particular, since for a fixed <math>k\geq 1</math> we have <math>\widehat{f^{(k)}}(n)\to 0</math> as <math>n\to\infty</math>, it follows that <math>|n|^k\widehat{f}(n)</math> tends to zero, which means that the Fourier coefficients converge to zero faster than the ''k''th power of ''n'' for any <math>k\geq 1</math>.-->
== [[Teorema Parseval]] ==
Jika <math>f</math> Milik <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, setelah itu <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx</math>.
== [[Teorema Plancherel]] ==
Jika nilai <math>c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots</math> adalah koefisien dan <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty</math> lalu ada fungsi unik <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math> seperti yang <math>\hat{f}(n) = c_n</math> untuk setiap nilai <math>n</math>.
== Teorema konvolusi ==
<!-- [Dalam pengembangan] * The first convolution theorem states that if <math>f</math> and <math>g</math> are in <math>L^1([-\pi,\pi])</math>, the Fourier series coefficients of the 2{{pi}}-periodic [[convolution]] of <math>f</math> and <math>g</math> are given by:
::<math>[\widehat{f*_{2\pi}g}](n) = 2\pi\cdot \hat{f}(n)\cdot\hat{g}(n),</math>{{efn-ua|
The scale factor is always equal to the period, 2{{pi}} in this case. You can easily verify that the factor is necessary here, by choosing f and g to be constant 1.
:where:
:: <math>\begin{align}
\left[f*_{2\pi}g\right](x) \ &\triangleq \int_{-\pi}^\pi f(u)\cdot g[\operatorname{pv}(x-u)] \, du, &&
\big(\text{and }\underbrace{\operatorname{pv}(x) \ \triangleq \operatorname{Arg}(e^{ix})}_{\text{principal value}}\,\big)\\
&= \int_{-\pi}^\pi f(u)\cdot g(x-u)\, du, && \text{when } g(x) \text{ is }2\pi\text{-periodic.}\\
&= \int_{2\pi} f(u)\cdot g(x-u)\, du, && \text{when both functions are }2\pi\text{-periodic, and the integral is over any } 2\pi\text{ interval.}
\end{align}
</math>
* The second convolution theorem states that the Fourier series coefficients of the product of <math>f</math> and <math>g</math> are given by the [[Convolution#Discrete convolution|discrete convolution]] of the <math>\hat f</math> and <math>\hat g</math> sequences:
::<math>[\widehat{f\cdot g}](n) = [\hat{f}*\hat{g}](n).</math>
* A [[doubly infinite]] sequence <math>\left \{c_n \right \}_{n \in Z}</math> in <math>c_0(\mathbb{Z})</math> is the sequence of Fourier coefficients of a function in <math>L^1([0,2\pi])</math> if and only if it is a convolution of two sequences in <math>\ell^2(\mathbb{Z})</math>. See <ref>{{cite web|url=https://mathoverflow.net/q/46626 |title= Characterizations of a linear subspace associated with Fourier series |publisher=MathOverflow |date=2010-11-19 |accessdate=2014-08-08}}</ref>-->
== Grup kompak ==
{{main|Kelompok kompak|Kelompok kebohongan|Teorema Peter–Weyl}}
<!-- [Dalam pengembangan] One of the interesting properties of the Fourier transform which we have mentioned, is that it carries convolutions to pointwise products. If that is the property which we seek to preserve, one can produce Fourier series on any [[compact group]]. Typical examples include those [[classical group]]s that are compact. This generalizes the Fourier transform to all spaces of the form ''L''<sup>2</sup>(''G''), where ''G'' is a compact group, in such a way that the Fourier transform carries [[convolution]]s to pointwise products. The Fourier series exists and converges in similar ways to the [−{{pi}},{{pi}}] case.
An alternative extension to compact groups is the [[Peter–Weyl theorem]], which proves results about representations of compact groups analogous to those about finite groups.
=== Riemannian manifolds ===
[[File:F orbital.png|thumb|right|The [[atomic orbital]]s of [[chemistry]] are partially described by [[spherical harmonic]]s, which can be used to produce Fourier series on the [[sphere]].]]
{{main|Laplace operator|Riemannian manifold}}
If the domain is not a group, then there is no intrinsically defined convolution. However, if <math>X</math> is a [[Compact space|compact]] [[Riemannian manifold]], it has a [[Laplace–Beltrami operator]]. The Laplace–Beltrami operator is the differential operator that corresponds to [[Laplace operator]] for the Riemannian manifold <math>X</math>. Then, by analogy, one can consider heat equations on <math>X</math>. Since Fourier arrived at his basis by attempting to solve the heat equation, the natural generalization is to use the eigensolutions of the Laplace–Beltrami operator as a basis. This generalizes Fourier series to spaces of the type <math>L^2(X)</math>, where <math>X</math> is a Riemannian manifold. The Fourier series converges in ways similar to the <math>[-\pi,\pi]</math> case. A typical example is to take <math>X</math> to be the sphere with the usual metric, in which case the Fourier basis consists of [[spherical harmonics]].
=== Locally compact Abelian groups ===
{{main|Pontryagin duality}}
The generalization to compact groups discussed above does not generalize to noncompact, [[Non-abelian group|nonabelian group]]s. However, there is a straightforward generalization to Locally Compact Abelian (LCA) groups.
This generalizes the Fourier transform to <math>L^1(G)</math> or <math>L^2(G)</math>, where <math>G</math> is an LCA group. If <math>G</math> is compact, one also obtains a Fourier series, which converges similarly to the <math>[-\pi,\pi]</math> case, but if <math>G</math> is noncompact, one obtains instead a [[Fourier integral]]. This generalization yields the usual [[Fourier transform]] when the underlying locally compact Abelian group is <math>\mathbb{R}</math>.-->
==Fungsi bernilai kompleks==
| |||