E (konstanta matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 20:
In mathematics, the standard is to typeset the constant as "{{mvar|e}}", in italics; the [[ISO 80000-2]]:2009 standard recommends typesetting constants in an upright style, but this has not been validated by the scientific community.{{citation needed|date=August 2020}}-->
==
:<math>\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}</math>▼
===Bunga majemuk===
:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x</math>▼
[[Berkas:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|thumb|right|350px|Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah {{nowrap|awal $1,000}} investasi pada berbagai frekuensi penggabungan]]
[[Jacob Bernoulli]] menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:<ref name="OConnor" />
{{quote|Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?}}
Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan {{nowrap|1=$1.00 × 1.5<sup>2</sup> = $2.25}} di akhir tahun. Peracikan hasil kuartalan {{nowrap|1=$1.00 × 1.25<sup>4</sup> = $2.4414...}}, dan menggabungkan hasil bulanan {{nowrap|1=$1.00 × (1 + 1/12)<sup>12</sup> = $2.613035…}} Bila ada {{math|''n''}} interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan {{math|100%/''n''}} dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × {{math|1=(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup>}}.
Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas ([[kekuatan minat]]) dengan lebih besar {{math|''n''}} dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Meracik mingguan ({{math|1=''n'' = 52}}) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggabungan uang harian ({{math|1=''n'' = 365}}) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai {{math|''n''}} tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai {{mvar|e}}. Artinya, dengan penggabungan ''kontinu'', nilai akun akan mencapai $2.7182818...
Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar {{math|''R''}}, setelah itu {{math|''t''}} tahun, hasil dari {{math|''e''<sup>''Rt''</sup>}} dolar dengan peracikan terus menerus.
(Perhatikan di sini karena {{math|''R''}} adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai ''persentase'', jadi untuk bunga 5%, {{math|1=''R'' = 5/100 = 0.05}}.)
===Pengadilan Bernoulli===
[[Berkas:Bernoulli trial sequence.svg|thumb|300px|Grafik probabilitas ''P'' jika {{em|not}} mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/''n'' sesudah ''n'' Pengadilan Bernoulli, dan 1 − ''P''  vs ''n'' ; dapat diamati bahwa ketika '' n '' meningkat, probabilitas 1/''n'' peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah ''n'' mencoba dengan cepat {{nowrap|menyatu dengan 1/''e''.}}]]
Bilangan dari {{mvar|e}} itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam [[teori probabilitas]], dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:
:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k\left(1 - 10^{-6}\right)^{10^6-k}.</math>
Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali ({{math|1=''k'' = 0}}) adalah
:<math>\left(1 - \frac{1}{10^6}\right)^{10^6}.</math>
yang sangat mendekati batas
===Distribusi normal standar===
{{main|Distribusi normal}}
Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai ''distribusi normal standar'', diberikan oleh [[fungsi kepadatan probabilitas]]
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>
Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan {{frac2|1|2}} dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva <math>\phi(x)</math> menghasilkan faktor <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>.<sup>[[Integral Gaussian|[bukti]]]</sup> Fungsi ini simetris {{math|1=''x'' = 0}}, di mana ia mencapai nilai maksimumnya <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, dan memiliki [[titik belok]] di {{math|1=''x'' = ±1}}.
===Kesalahhan===
Aplikasi lain dari {{mvar|e}}, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'':<ref>Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory]'' (diterbitkan secara online di bawah [[GFDL]]), p. 85.</ref> {{math|''n''}} tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam {{math|''n''}} kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas itu, tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak kanan. Probabilitas ini, dilambangkan dengan <math>p_n\!</math>, is:
:<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
Sebagai nomor {{math|''n''}} sebagai tamu cenderung tak terbatas, {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} pendekatan {{math|1 / ''e''}}. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat. {{math|''n''!/''e''}} (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap positif {{math|''n''}}).<ref>Knuth (1997) ''[[Seni Pemrograman Komputer]]'' Volume I, Addison-Wesley, p. 183 {{isbn|0-201-03801-3}}.</ref>
===Masalah perencanaan yang optimal===
Sebatang panjang {{mvar|L}} dipecah menjadi {{mvar|n}} bagian yang sama. Nilai dari {{mvar|n}} yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:<ref>{{cite book|title=Konstanta matematika|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|url-access=registration|author=Steven Finch|year=2003|publisher=Cambridge University Press|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/14 14]}}</ref>
:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> or <math>\left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor + 1.</math>
<!--The stated result follows because the maximum value of <math>x^{-1}\ln x</math> occurs at <math>x = e</math> ([[Steiner's calculus problem|Steiner's problem]], discussed [[#Exponential-like functions|below]]). The quantity <math>x^{-1}\ln x</math> is a measure of [[Shannon information|information]] gleaned from an event occurring with probability <math>1/x</math>, so that essentially the same optimal division appears in optimal planning problems like the [[secretary problem]].-->
===Asimtotik===
Angka {{mvar|e}} terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan [[asimtotik]]. Contohnya adalah [[Rumus Stirling]] untuk [[Analisis asimtotik|asimtotik]] dari [[fungsi faktorial]], di mana kedua bilangan tersebut {{mvar|e}} dan [[pi|{{pi}}]] muncul:
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Sebagai konsekuensi,
== Lihat pula ==
| |||