Integral permukaan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Memperbaiki dan manambahkn |
||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], '''Permukaan integral''' adalah generalisasi dari [[Integral lipat|beberapa integral]] untuk integrasi di atas [[ Permukaan (geometri diferensial)|permukaan]]. Ini dapat dianggap sebagai analog [[Integral lipat|integral]] lipat dari [[integral garis]] . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan [[ Bidang skalar|bidang skalar]] (yaitu, [[Fungsi (matematika)|fungsi]] posisi yang mengembalikan [[skalar]] sebagai nilai) di atas permukaan, atau [[medan vektor|bidang vektor]] (yaitu, fungsi yang mengembalikan [[Vektor (spasial)|vektor]] sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut [[ Geometri diferensial permukaan|permukaan]] seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.
Permukaan integral memiliki aplikasi dalam [[fisika]], khususnya dalam teori [[Elektrodinamika|elektromagnetisme klasik]].
Baris 7 ⟶ 6:
== Integral permukaan bidang skalar ==
Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan ''S'', kita perlu membuat [[Sistem koordinat|parameter]] ''S'' dengan menentukan sistem [[ Koordinat lengkung|koordinat lengkung]] pada ''S'', seperti [[Sistem koordinat geografi|lintang dan bujur]] pada [[Bola (geometri)|bola]] . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi '''x''' ( ''s'', ''t'' ), di mana ( ''s'', ''t'' ) bervariasi di beberapa daerah ''T'' di [[Sistem koordinat Kartesius|bidang]] . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh <ref>{{Cite web|date=2020-05-11|title=List of Calculus and Analysis Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-19}}</ref> <ref>{{Cite web|title=Calculus III - Surface Integrals|url=https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/surfaceintegrals.aspx#:~:text=The%20way%20to%20tell%20them,the%20often%20messy%20square%20root.|website=tutorial.math.lamar.edu|access-date=2020-09-19}}</ref>
<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah [[Besaran (matematika)|besarnya]] dari [[Perkalian vektor|produk silang]] dari [[turunan parsial]] dari '''x''' ''(s,'' ''t),'' dan dikenal sebagai permukaan [[ Elemen volume|elemen]] . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen
<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \sqrt{g} \, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
dimana ''g'' adalah determinan [[ Bentuk fundamental pertama|bentuk fundamental pertama]] dari pemetaan permukaan '''x''' ( ''s'', ''t'' ). <ref>{{Cite book|last=Edwards|first=C. H.|year=1994|title=Advanced Calculus of Several Variables|location=Mineola, NY|publisher=Dover|isbn=0-486-68336-2|pages=335}}</ref> <ref>{{Cite book|last=Hazewinkel|first=Michiel|year=2001|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Surface_integral|title=Encyclopedia of Mathematics|location=|publisher=Springer|isbn=978-1-55608-010-4|pages=Surface Integral}}</ref>
Contohnya, jika kita ingin mencari [[luas permukaan]] grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah <math>z=f\,(x,y)</math>, kita punya
<math>L = \iint_S \,\mathrm dS
= \iint_T \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy</math>
rumus di atas adalah <math>\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))</math> . Yang seperti itu <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, f_x(x,y))</math>, dan <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, f_y(x,y))</math> . Jika
<math>\begin{align}
L
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| \mathrm dx\, \mathrm dy \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, \mathrm dx\, \mathrm dy
\end{align}</math>
Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai [[ Permukaan normal|vektor normal]] ke permukaan.
Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.
Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi [[ Bentuk volume Riemannian|bentuk volume Riemannian]] pada permukaan berparameter, di mana [[ Tensor metrik|tensor metrik]] diberikan oleh [[ Bentuk fundamental pertama|bentuk dasar pertama]] permukaan.
| |||