Topologi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
kTidak ada ringkasan suntingan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 14:
Beberapa bidang yang paling aktif, seperti topologi dimensi rendah dan teori grafik, tidak muat dengan rapi dalam pembagian ini.
==Motivasi==
Wawasan yang memotivasi di balik topologi adalah bahwa beberapa masalah geometris tidak bergantung pada bentuk pasti dari objek yang terlibat, melainkan pada cara mereka disatukan. Contohnya, persegi dan lingkaran memiliki banyak sifat yang sama: keduanya adalah objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) dan keduanya memisahkan bidang menjadi dua bagian, bagian di dalam dan bagian luar.
Dalam salah satu makalah pertama di topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rute melalui kota Königsberg (sekarang [[Kaliningrad]]) yang akan melintasi ketujuh jembatannya tepat satu kali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jembatan atau jarak satu sama lain, tetapi hanya pada properti konektivitas: jembatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tepi sungai mana. Masalah [[Tujuh Jembatan Königsberg]] ini menyebabkan cabang matematika yang dikenal sebagai [[teori grafik]].
{{multiple image
| width = 200
| image1 = Mug and Torus morph.gif
| image2 = Spot the cow.gif
| footer = Deformasi kontinu (sejenis homeomorfisme) cangkir menjadi donat (torus) dan sapi menjadi bola
}}
Serupa dengan itu, [[teorema bola berbulu]] dari topologi aljabar mengatakan bahwa "seseorang tidak dapat menyisir rambut hingga rata pada bola berbulu tanpa membuat [[jilatan rambut]]." Fakta ini langsung meyakinkan bagi kebanyakan orang, meskipun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahwa tidak ada [[bidang vektor | bidang vektor singgung]] kontinu tak menghilang pada bola. Seperti dengan '' Jembatan Königsberg '', hasilnya tidak bergantung pada bentuk bola; ini berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, selama tidak ada lubang.
Untuk menangani masalah ini yang tidak bergantung pada bentuk objek yang tepat, kita harus jelas tentang properti apa yang diandalkan oleh masalah ini {{em|do}}. Dari kebutuhan ini muncullah pengertian homeosfier. Ketidakmungkinan menyeberangi setiap jembatan hanya sekali berlaku untuk setiap susunan jembatan yang bersifat homeomorfik dengan yang ada di Königsberg, dan teorema bola berbulu berlaku untuk setiap ruang yang homeomorfik untuk sebuah bola.
Secara intuitif, dua ruang bersifat homeomorfik jika yang satu dapat berubah bentuk menjadi yang lain tanpa memotong atau merekatkan. Lelucon tradisional adalah bahwa ahli topologi tidak dapat membedakan cangkir kopi dari donat, karena donat yang cukup lentur dapat dibentuk kembali menjadi cangkir kopi dengan membuat lesung pipit dan secara bertahap memperbesarnya, sambil mengecilkan lubang menjadi pegangan.<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=SHBj2oaSALoC&pg=PA204|title=Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems|last1=Hubbard|first1=John H.|last2=West|first2=Beverly H.|publisher=Springer|year=1995|isbn=978-0-387-94377-0|series=Texts in Applied Mathematics|volume=18|page=204}}</ref>
Homeomorfisme dapat dianggap sebagai [[Homeomorfisme|kesetaraan topologis]] yang paling dasar. Lainnya adalah [[kesetaraan homotopi]]. Ini lebih sulit untuk dijelaskan tanpa teknis, tetapi gagasan dasarnya adalah bahwa dua benda adalah setara homotopi jika keduanya dihasilkan dari "meremas" benda yang lebih besar.
{| class="wikitable" border=1
|+ Kelas persamaan alfabet Latin dalam font sans-serif
|-
! Homeomorfisme
! Kesetaraan homotopi
|-
| style="vertical-align: top" | [[Gambar:alphabet homeo.png|270px|alt={A,R} {B} {C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z}, {D,O} {E,F,T,Y} {H,K}, {P,Q} {X}]]
| style="vertical-align: top" | [[Gambar:alphabet homotopy.png|300px|alt={A,R,D,O,P,Q} {B}, {C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z}]]
|}
Pengantar [[latihan (matematika)|latihan]] adalah untuk mengklasifikasikan huruf besar dari [[alfabet Inggris]] menurut persamaan homeomorfisme dan homotopi. Hasilnya tergantung pada font yang digunakan, dan apakah goresan yang membentuk huruf memiliki ketebalan atau kurva ideal tanpa ketebalan. Gambar di sini menggunakan font [[sans-serif]] [[Segudang (font)|Banyak sekali]] dan diasumsikan terdiri dari kurva ideal tanpa ketebalan. Kesetaraan homotopi adalah hubungan yang lebih kasar daripada homeomorfisme; kelas kesetaraan homotopy dapat berisi beberapa kelas homeomorfisme. Kasus sederhana persamaan homotopi yang dijelaskan di atas dapat digunakan di sini untuk menunjukkan dua huruf yang setara homotopi. Misalnya, OF pas di dalam P dan ekor P bisa dijepit ke bagian "lubang".
Kelas homeomorfisme adalah:
* tidak ada lubang yang sesuai dengan C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, dan Z;
* tidak ada lubang dan tiga ekor yang sesuai dengan E, F, T, dan Y;
* tidak ada lubang dan empat ekor sesuai dengan X;
* satu lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan D dan O;
* satu lubang dan satu ekor sesuai dengan P dan Q.;
* satu lubang dan dua ekor sesuai dengan A dan R;
* dua lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan B; dan
* batang dengan empat ekor sesuai dengan H dan K; "bar" pada '' K '' hampir terlalu pendek untuk dilihat.
Kelas homotopi lebih besar, karena ekornya dapat terjepit ke bawah sampai suatu titik. Mereka:
* satu lubang,
* dua lubang, dan
* tidak ada lubang.
Untuk mengklasifikasikan huruf dengan benar, kita harus menunjukkan bahwa dua huruf di kelas yang sama adalah setara dan dua huruf di kelas yang berbeda tidak setara. Dalam kasus homeomorfisme, ini dapat dilakukan dengan memilih titik dan menunjukkan penghapusannya memutus huruf secara berbeda. Misalnya, X dan Y tidak homeomorfik karena menghilangkan titik tengah X menyisakan empat buah; titik apa pun di Y yang sesuai dengan titik ini, penghapusannya dapat menyisakan paling banyak tiga bagian. Kasus kesetaraan homotopi lebih sulit dan membutuhkan argumen yang lebih rumit yang menunjukkan invari aljabar, seperti [[kelompok fundamental]], berbeda pada kelas yang seharusnya berbeda.
Topologi huruf memiliki relevansi praktis dalam [[stensil]] [[tipografi]]. Contohnya, [[Braggadocio (jenis huruf)|Braggadocio]] stensil font dibuat dari satu bahan yang terhubung.
==Sejarah==
[[Gambar:Konigsberg bridges.png|thumb|right|240px|[[Tujuh Jembatan Königsberg]] adalah masalah yang diselesaikan oleh Euler.]]
Topologi, sebagai disiplin matematika yang terdefinisi dengan baik, berasal dari awal abad kedua puluh, tetapi beberapa hasil terisolasi dapat ditelusuri kembali beberapa abad.<ref name=Croom7>{{harvnb|Croom|1989|page=7}}</ref> Diantaranya adalah beberapa pertanyaan dalam geometri yang diselidiki oleh [[Leonhard Euler]]. Makalah tahun 1736 tentang [[Tujuh Jembatan Königsberg]] dianggap sebagai salah satu aplikasi praktis pertama topologi.<ref name=Croom7 /> Pada tanggal 14 November 1750, Euler menulis kepada seorang temannya bahwa dia telah menyadari pentingnya '' tepi '' dari sebuah [[polyhedron]]. Hal ini menyebabkan [[rumus polihedron Euler|rumus polihedron]], {{math|1=''V'' − ''E'' + ''F'' = 2}} (dimana {{mvar|V}}, {{mvar|E}}, dan {{mvar|F}} masing-masing menunjukkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron). Beberapa otoritas menganggap analisis ini sebagai teorema pertama, yang menandakan kelahiran topologi.<ref>{{harvnb|Richeson|2008|page=63}}; {{harvnb|Aleksandrov|1969|page=204}}</ref>
Kontribusi lebih lanjut dibuat oleh [[Augustin-Louis Cauchy]], [[Ludwig Schläfli]], [[Daftar Johann Benediktus]], [[Bernhard Riemann]] dan [[Enrico Betti]].<ref name="Richeson">Richeson (2008)</ref> Listing memperkenalkan istilah "Topologie" dalam '' Vorstudien zur Topologie '', ditulis dalam bahasa Jerman asalnya, pada tahun 1847, setelah menggunakan kata tersebut selama sepuluh tahun dalam korespondensi sebelum kemunculan pertamanya dalam prin.<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848</ref> Bentuk bahasa Inggris "topologi" digunakan pada tahun 1883 dalam obituari Listing di jurnal [[Nature (journal) | '' Nature '']] untuk membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana geometri kuantitatif.<ref>{{cite journal|doi=10.1038/027316a0|title=Johann Benedict Listing (obituary)|date=1 February 1883|last1=Tait|first1=Peter Guthrie|journal=Nature|volume=27|issue=692|pages=316–317|bibcode=1883Natur..27..316P|doi-access=free}}</ref>
Pekerjaan mereka dikoreksi, dikonsolidasikan, dan sangat diperluas oleh [[Henri Poincaré]]. Pada tahun 1895, ia menerbitkan makalah terobosannya tentang '' [[Situs Analisis (makalah)|Situs Analisis]] '', yang memperkenalkan konsep yang sekarang dikenal sebagai [[homotopi]] dan [[Homologi (matematika) | homologi]], yang sekarang dianggap sebagai bagian dari [[topologi aljabar]].<ref name="Richeson"/>
{| class="wikitable sortable"
|+ Karakteristik topologi lipatan-2 tertutup<ref name="Richeson" />
|-
! rowspan=2 | Manifold !! rowspan=2 |[[Karakteristik Euler|Bilangan Euler]]!! rowspan="2" |[[Orientabilitas]]!! colspan="3" |[[Bilangan Betti]]!! rowspan="2" |[[Homologi (matematika)|Koefisien torsi]] (1-dim)
|-
! style="width:3em;" | b<sub>0</sub>!! b<sub>1</sub>!! style="width:3em;" | b<sub>2</sub>
|-
| [[Bola (geometri)|Bola]] || 2 || Orientable || 1 || 0 || 1 || tidak ada
|-
| [[Torus]] || 0 || Orientable || 1 || 2 || 1 || tidak ada
|-
| Torus berlubang || −2 || Orientable || 1 || 4 || 1 || tidak ada
|-
| {{mvar|g}}-torus berlubang ([[Genus (topologi)|genus]] {{mvar|g}}) || {{math|2 − 2''g''}} || Orientable || 1 || {{math|2''g''}} || 1 || tidak ada
|-
| [[Bidang proyektif]] || 1 || Tidak berorientasi || 1 || 0 || 0 || 2
|-
| [[Botol Klein]] || 0 || Tidak berorientasi || 1 || 1 || 0 || 2
|-
| Bola dengan {{mvar|c}} [[lintas topi]] ({{math|''c'' > 0}}) || {{math|2 − ''c''}} || Tidak berorientasi || 1 || {{math|''c'' − 1}} || 0 || 2
|-
| 2 Manifold dengan lubang {{mvar|g}}<br />dan {{mvar|c}} topi silang ({{math|''c'' > 0}}) || {{math|2 − (2''g'' + ''c'')}} || Non-orientable || 1 || {{math|(2''g'' + ''c'') − 1}} || 0 || 2
|}
Menyatukan pekerjaan pada ruang fungsi [[Georg Cantor]], [[Vito Volterra]], [[Cesare Arzelà]], [[Jacques Hadamard]], [[Giulio Ascoli]] dan lainnya, [[Maurice Fréchet]] memperkenalkan [[ruang metrik]].<ref>{{cite book |last=Fréchet |first=Maurice |title=Sur quelques points du calcul fonctionnel |work=PhD dissertation |year=1906 |oclc=8897542 }}</ref> Sebuah ruang metrik sekarang dianggap sebagai kasus khusus dari ruang topologi umum, dengan setiap ruang topologi tertentu berpotensi menimbulkan banyak ruang metrik yang berbeda. Pada tahun 1914, [[Felix Hausdorff]] menciptakan istilah "ruang topologis" dan memberikan definisi untuk apa yang sekarang disebut [[ruang Hausdorff]].<ref>Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)</ref> Saat ini, ruang topologi adalah sedikit generalisasi dari ruang Hausdorff, diberikan pada tahun 1922 oleh [[Kazimierz Kuratowski]].<ref>{{harvnb|Croom|1989|page=129}}</ref>
Topologi modern sangat bergantung pada gagasan teori himpunan, yang dikembangkan oleh Georg Cantor di akhir abad ke-19. Selain menetapkan ide-ide dasar teori himpunan, Cantor mempertimbangkan himpunan titik dalam [[ruang Euklides]] sebagai bagian dari studinya tentang [[deret Fourier]]. Untuk perkembangan lebih lanjut, lihat [[topologi himpunan titik]] dan topologi aljabar.
== Definisi ==
| |||