Wikipedia

Sistem koordinat polar: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
→Pranala luar: Perubahan terjemahan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
kTidak ada ringkasan suntingan
Baris 5:
 
Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam [[sistem koordinat Kartesius]]) disebut ''pole'' atau "kutub", dan [[:en:ray (geometry)|''ray'' atau "sinar"]] dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut "aksis polar" (''polar axis''). Jarak dari suatu kutub disebut ''radial coordinate'' atau ''radius'', dan sudutnya disebut ''angular coordinate'', ''polar angle'', atau ''[[azimuth]]''.<ref name="brown">{{Cite book|last = Brown|first = Richard G.|editor = Andrew M. Gleason|year = 1997|title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis|publisher = McDougal Littell|location = Evanston, Illinois|isbn = 0-395-77114-5}}</ref>
 
 
[[Grégoire de Saint-Vincent]] dan [[Bonaventura Cavalieri]] secara independen memperkenalkan konsep-konsep tersebut pada pertengahan abad ketujuh belas, meskipun istilah sebenarnya '' koordinat polar '' telah dikaitkan. Motivasi awal untuk pengenalan sistem polar adalah mempelajari [[gerakan melingkar|melingkar]] dan [[gerakan orbital]].
 
Koordinat polar paling tepat dalam konteks apa pun di mana fenomena yang dipertimbangkan secara inheren terikat pada arah dan panjang dari titik pusat pada bidang, seperti [[Spiral|spiral]]. Sistem fisik planar dengan benda-benda bergerak di sekitar titik pusat, atau fenomena yang berasal dari titik pusat, sering kali lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan koordinat polar.
 
Sistem koordinat polar diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua cara: sistem koordinat [[sistem koordinat tabung|tabung]] dan [[sistem koordinat bola|bola]].
Baris 38 ⟶ 37:
|year= 2005
|url= http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA161#v=onepage&f=false
|ref=harv}}</ref> Sejak abad ke-9 dan seterusnya, mereka menggunakan metode [[trigonometri bola]] dan [[proyeksi peta]] untuk menentukan jumlah ini secara akurat. Perhitungan pada dasarnya adalah konversi [[koordinat Geodetik#Koordinat|koordinat polar ekuator]] Mekkah (yaitu [[bujur]] dan [[lintang]]) ke koordinat kutubnya (yaitu kiblat dan jaraknya) relatif terhadap sistem yang meridian referensinya adalah lingkaran besar melalui lokasi tertentu, dan yang sumbu polarnya adalah garis melalui lokasi dan [[titik antipodal]].<ref>King ([[#CITEREFKing2005|2005]], [http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false p. 169]). Perhitungannya seakurat yang dapat dicapai di bawah batasan yang diberlakukan oleh asumsi mereka bahwa Bumi adalah bola yang sempurna.</ref>▼
|ref=harv}}
▲</ref> Sejak abad ke-9 dan seterusnya, mereka menggunakan metode [[trigonometri bola]] dan [[proyeksi peta]] untuk menentukan jumlah ini secara akurat. Perhitungan pada dasarnya adalah konversi [[koordinat Geodetik#Koordinat|koordinat polar ekuator]] Mekkah (yaitu [[bujur]] dan [[lintang]]) ke koordinat kutubnya (yaitu kiblat dan jaraknya) relatif terhadap sistem yang meridian referensinya adalah lingkaran besar melalui lokasi tertentu, dan yang sumbu polarnya adalah garis melalui lokasi dan [[titik antipodal]].<ref>King ([[#CITEREFKing2005|2005]], [http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false p. 169]). Perhitungannya seakurat yang dapat dicapai di bawah batasan yang diberlakukan oleh asumsi mereka bahwa Bumi adalah bola yang sempurna.</ref>
 
Ada berbagai penjelasan tentang pengenalan koordinat polar sebagai bagian dari sistem koordinat formal. Sejarah lengkap dari subjek ini dijelaskan dalam Origin of Polar Coordinates [[Universitas Harvard|Harvard]] profesor [[Julian Lowell Coolidge]].''<ref name="coolidge">{{Cite journal| last = Coolidge| first = Julian| authorlink = Julian Lowell Coolidge| title = The Origin of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 59| pages = 78–85| year = 1952| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html| doi = 10.2307/2307104| issue = 2| publisher = Mathematical Association of America| jstor = 2307104}}</ref> [[Grégoire de Saint-Vincent]] dan [[Bonaventura Cavalieri]] secara independen memperkenalkan konsep-konsep pada pertengahan abad ketujuh belas. Saint-Vincent menulis tentang mereka secara pribadi pada tahun 1625 dan menerbitkan karyanya pada tahun 1647, sementara Cavalieri menerbitkan karyanya pada tahun 1635 dengan versi koreksi yang muncul pada tahun 1653. Cavalieri pertama kali menggunakan koordinat kutub untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan luas di dalam [[spiral Archimedean]]. [[Blaise Pascal]] kemudian menggunakan koordinat polar untuk menghitung panjang [[parabola|busur parabola]].
Baris 60 ⟶ 58:
Menambahkan sejumlah [[putaran (geometri)|putaran]] (360 °) penuh ke koordinat sudut tidak mengubah arah yang sesuai. Juga, koordinat radial negatif paling baik diinterpretasikan sebagai jarak positif terkait yang diukur dalam arah yang berlawanan. Oleh karena itu, titik yang sama dapat diekspresikan dengan koordinat kutub yang berbeda dalam jumlah tak terhingga {{nowrap|(''r'', ''φ'' ± ''n''×360°)}} atau {{nowrap|(−''r'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)180°)}}, dimana ''n'' adalah salah satu [[bilangan bulat]].<ref>{{Cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13| format = PDF}}</ref> Moreover, the pole itself can be expressed as (0,&nbsp;''φ'') for any angle ''φ''.<ref>{{Cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen |author3=David Sklar |year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>
 
Jika representasi unik diperlukan untuk titik mana pun, biasanya membatasi '' r '' menjadi [[bilangan non-negatif]] ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) dan ''φ'' ke [[interval (matematika) | interval]] [0, 360 °) atau (−180°,&nbsp;180°] (dalam radian, [0,&nbsp;2π) atau (−π,&nbsp;π]).<ref>{{Cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|first=Ian|last=Stewart|author2=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-28763-4}}</ref> Seseorang juga harus memilih azimuth unik untuk tiang, misalnya ''φ''&nbsp;=&nbsp;0.
 
== Konversi dari atau ke koordinat Kartesius ==
Baris 124 ⟶ 122:
[[mawar (matematika)|Polar mawar]] adalah kurva matematika terkenal yang terlihat seperti kelopak bunga, dan dapat diekspresikan sebagai persamaan kutub sederhana,
:<math>r(\varphi) = a \cos (k\varphi + \gamma_0)\,</math>
for any constant ɣ<sub>0</sub> (including 0). If ''k'' is an integer, these equations will produce a ''k''-petaled rose if ''k'' is [[even and odd numbers|odd]], or a 2''k''-petaled rose if ''k'' is even. If ''k'' rasional tetapi bukan bilangan bulat, bentuk seperti mawar dapat terbentuk tetapi dengan kelopak yang tumpang tindih. Perhatikan bahwa persamaan ini tidak pernah mendefinisikan mawar dengan kelopak 2, 6, 10, 14, dll. [[Variabel (matematika) | variabel]] '' a '' mewakili panjang kelopak mawar.
{{-}}
 
Baris 140 ⟶ 138:
: <math>r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}</math>
 
di mana '' e '' adalah [[eksentrisitas (matematika) | eksentrisitas]] dan <math>\ell</math> adalah [[rektum semi-latus]] (jarak tegak lurus pada fokus dari sumbu utama ke kurva). Bila {{nowrap|''e'' > 1}}, persamaan ini mendefinisikan [[hiperbola]]; bila {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, itu mendefinisikan [[parabola]]; dan bila {{nowrap|''e'' < 1}}, itu mendefinisikan [[elips]]. Kasus khusus {{nowrap|''e'' {{=}} 0}} hasil terakhir dalam lingkaran jari-jari <math>\ell</math>.
{{-}}
 
Baris 159 ⟶ 157:
and from there as
: <math>z = re^{i\varphi} \,</math>
di mana '' e '' adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan Euler]], yang setara dengan yang ditunjukkan oleh [[rumus Euler]].<ref>{{Cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html}}</ref> (Perhatikan bahwa rumus ini, seperti semua rumus yang melibatkan sudut eksponensial, mengasumsikan bahwa sudut '' φ '' dinyatakan dalam [[radian]].) Untuk mengonversi antara bentuk persegi panjang dan kutub dari sebuah bilangan kompleks, rumus konversi yang diberikan [[#Mengubah koordinat polar dan Kartesius|di atas]] dapat digunakan.▼
di mana '' e '' adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan Euler]], yang setara dengan yang ditunjukkan oleh [[rumus Euler]].<ref>
▲ {{Cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html}}</ref> (Perhatikan bahwa rumus ini, seperti semua rumus yang melibatkan sudut eksponensial, mengasumsikan bahwa sudut '' φ '' dinyatakan dalam [[radian]].) Untuk mengonversi antara bentuk persegi panjang dan kutub dari sebuah bilangan kompleks, rumus konversi yang diberikan [[#Mengubah koordinat polar dan Kartesius|di atas]] dapat digunakan.
 
Untuk operasi [[perkalian]], [[pembagian (matematika)|pembagian]], dan [[eksponen]] bilangan kompleks, it umumnya jauh lebih sederhana untuk bekerja dengan bilangan kompleks yang diekspresikan dalam bentuk kutub daripada persegi panjang. Dari hukum eksponen:
Baris 224 ⟶ 221:
:<math>\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.</math>
 
[[ImageBerkas:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|The region ''R'' is approximated by ''n'' sectors (here, ''n'' = 5).]]
[[FileBerkas:Planimeter.jpg|thumb|A [[planimeter]], which mechanically computes polar integrals]]
This result can be found as follows. First, the interval {{nowrap|[''a'', ''b'']}} is divided into ''n'' subintervals, where ''n'' is an arbitrary positive integer. Thus Δ''φ'', the length of each subinterval, is equal to {{nowrap|''b'' − ''a''}} (the total length of the interval), divided by ''n'', the number of subintervals. For each subinterval ''i'' = 1, 2, …, ''n'', let ''φ''<sub>''i''</sub> be the midpoint of the subinterval, and construct a [[circular sector|sector]] with the center at the pole, radius ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>), central angle Δ''φ'' and arc length ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>)Δ''φ''. The area of each constructed sector is therefore equal to
:<math>\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi.</math>
Baris 235 ⟶ 232:
A mechanical device that computes area integrals is the [[planimeter]], which measures the area of plane figures by tracing them out: this replicates integration in polar coordinates by adding a joint so that the 2-element [[Linkage (mechanical)|linkage]] effects [[Green's theorem]], converting the quadratic polar integral to a linear integral.
 
==== Generalization ====
Using [[Cartesian coordinates]], an infinitesimal area element can be calculated as ''dA'' = ''dx'' ''dy''. The [[integration by substitution#Substitution for multiple variables|substitution rule for multiple integrals]] states that, when using other coordinates, the [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian]] determinant of the coordinate conversion formula has to be considered:
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}
Baris 258 ⟶ 255:
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>
 
=== Vector calculus ===
[[Vector calculus]] can also be applied to polar coordinates. For a planar motion, let <math>\mathbf{r}</math> be the position vector {{nowrap|(''r''cos(''φ''), ''r''sin(''φ''))}}, with ''r'' and ''φ'' depending on time ''t''.
 
Baris 276 ⟶ 273:
::<math> \left( \ddot r - r\dot\varphi^2 \right) \hat{\mathbf r} + \left( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi \right) \hat{\boldsymbol{\varphi}} \ = (\ddot r - r\dot\varphi^2)\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\; \frac{d}{dt} \left(r^2\dot\varphi\right) \hat{\boldsymbol{\varphi}}</math>
 
==== Centrifugal and Coriolis terms ====
{{See also|Mechanics of planar particle motion|Centrifugal force (rotating reference frame)}}
The term <math>r\dot\varphi^2</math> is sometimes referred to as the ''centrifugal term'', and the term <math>2\dot r \dot\varphi</math> as the ''Coriolis term''. For example, see Shankar.<ref name=Shankar>{{Cite book|title=Principles of Quantum Mechanics|author=Ramamurti Shankar|edition=2nd|page=81|url=http://books.google.com/?id=2zypV5EbKuIC&pg=PA81&dq=Coriolis+%22polar+coordinates%22|year=1994|isbn=0-306-44790-8|publisher=Springer}}</ref> Although these equations bear some resemblance in form to the [[centrifugal force|centrifugal]] and [[Coriolis effect]]s found in rotating reference frames, nonetheless these are not the same things.<ref name=angular>In particular, the angular rate appearing in the polar coordinate expressions is that of the particle under observation, <math>\dot{\varphi}</math>, while that in classical Newtonian mechanics is the angular rate Ω of a rotating frame of reference.</ref> For example, the physical centrifugal and Coriolis forces appear only in [[non-inertial frame]]s of reference. In contrast, these terms that appear when acceleration is expressed in polar coordinates are a mathematical consequence of differentiation; these terms appear wherever polar coordinates are used. In particular, these terms appear even when polar coordinates are used in [[inertial frame]]s of reference, where the physical centrifugal and Coriolis forces never appear.
 
[[ImageBerkas:Co-rotating frame vector.svg|thumb|Inertial frame of reference ''S'' and instantaneous non-inertial co-rotating frame of reference ''S′''. The co-rotating frame rotates at angular rate Ω equal to the rate of rotation of the particle about the origin of ''S′'' at the particular moment ''t''. Particle is located at vector position '''r'''(''t'') and unit vectors are shown in the radial direction to the particle from the origin, and also in the direction of increasing angle ''φ'' normal to the radial direction. These unit vectors need not be related to the tangent and normal to the path. Also, the radial distance ''r'' need not be related to the radius of curvature of the path.]]
 
===== ''Co-rotating frame'' =====
For a particle in planar motion, one approach to attaching physical significance to these terms is based on the concept of an instantaneous ''co-rotating frame of reference''.<ref name=Taylor>For the following discussion, see {{Cite book|author=John R Taylor|title=Classical Mechanics|page=§&nbsp;9.10, pp. 358–359|isbn=1-891389-22-X|publisher=University Science Books|year=2005}}</ref> To define a co-rotating frame, first an origin is selected from which the distance ''r''(''t'') to the particle is defined. An axis of rotation is set up that is perpendicular to the plane of motion of the particle, and passing through this origin. Then, at the selected moment ''t'', the rate of rotation of the co-rotating frame Ω is made to match the rate of rotation of the particle about this axis, ''dφ''/''dt''. Next, the terms in the acceleration in the inertial frame are related to those in the co-rotating frame. Let the location of the particle in the inertial frame be (''r(''t''), ''φ''(''t'')), and in the co-rotating frame be (''r(t), ''φ''′(t)''). Because the co-rotating frame rotates at the same rate as the particle, ''dφ''′/''dt'' = 0. The fictitious centrifugal force in the co-rotating frame is ''mrΩ<sup>2</sup>, radially outward. The velocity of the particle in the co-rotating frame also is radially outward, because ''dφ''′/''dt'' = 0. The ''fictitious Coriolis force'' therefore has a value −2''m''(''dr''/''dt'')Ω, pointed in the direction of increasing ''φ'' only. Thus, using these forces in Newton's second law we find:
:<math>\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_{cf}} + \boldsymbol{F_{Cor}} = m \ddot{\boldsymbol{r}} \, </math>
where over dots represent time differentiations, and '''F''' is the net real force (as opposed to the fictitious forces). In terms of components, this vector equation becomes:
Baris 298 ⟶ 295:
Sistem koordinat kutub diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua sistem koordinat yang berbeda, [[sistem koordinat tabung|tabung]] dan [[sistem koordinat bola]].
 
== Aplikasi ==
Koordinat polar adalah dua dimensi dan karenanya hanya dapat digunakan jika posisi titik terletak pada bidang dua dimensi tunggal. Mereka paling sesuai dalam konteks apa pun di mana fenomena yang sedang dipertimbangkan secara inheren terkait dengan arah dan panjang dari titik pusat. Contohnya, Contoh di atas menunjukkan bagaimana persamaan kutub elementer cukup untuk mendefinisikan kurva, seperti spiral Archimedean yang persamaannya dalam sistem koordinat Cartesian akan jauh lebih rumit. Selain itu, banyak sistem fisik — seperti yang berkaitan dengan benda yang bergerak di sekitar titik pusat atau dengan fenomena yang berasal dari titik pusat lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan polat. Motivasi awal untuk pengenalan sistem kutub adalah mempelajari [[gerakan melingkar|melingkar]] dan [[gerakan orbital]].
 
=== Posisi dan navigasi ===
Koordinat kutub sering digunakan dalam [[navigasi]], karena tujuan atau arah perjalanan dapat diberikan sebagai sudut dan jarak dari objek yang dipertimbangkan. Contohnya, [[pesawat]] menggunakan versi yang sedikit dimodifikasi dari koordinat polar untuk navigasi. Dalam sistem ini, yang umumnya digunakan untuk segala jenis navigasi, sinar 0 ° umumnya disebut heading 360, dan sudutnya berlanjut ke arah [[searah jarum jam]], bukan berlawanan arah jarum jam, seperti dalam sistem matematika. Judul 360 berkaitan dengan [[magnet utara]], sedangkan judul 90, 180, dan 270 masing-masing terkait dengan magnet timur, selatan, dan barat.<ref>{{Cite web|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|title=Aircraft Navigation System|accessdate=2006-11-26|first=Sumrit|last=Santhi}}</ref> Dengan demikian, sebuah pesawat terbang yang menempuh 5 mil laut ke arah timur akan menempuh 5 unit pada pos 90 (baca [[Alfabet ejaan ICAO|nol-niner-nol]] oleh [[kontrol lalu lintas udara]]).<ref>{{Cite web|url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|title=Emergency Procedures|format=PDF|accessdate=2007-01-15}}</ref>
 
=== Pemodelan ===
Sistem yang menampilkan [[simetri radial]] memberikan pengaturan alami untuk sistem koordinat kutub, dengan titik pusat bertindak sebagai kutub. Contoh utama dari penggunaan ini adalah [[persamaan aliran air tanah]]. Sistem dengan [[gaya pusat | gaya radial]] juga merupakan kandidat yang baik untuk penggunaan sistem koordinat polar. Sistem ini mencakup [[gravitasi|medan gravitasi]], yang mematuhi [[hukum kuadrat terbalik]], serta sistem dengan [[sumber titik]], seperti [[antena (radio)|antena radio]].
 
Sistem asimetris radial juga dapat dimodelkan dengan koordinat polar. Contohnya, [[Mikrofon#Pola kutub mikrofon|pola pengambilan]] [[mikrofon]] mengilustrasikan respons proporsionalnya terhadap suara yang masuk dari arah tertentu, dan pola ini dapat diulang. Kurva untuk mikrofon cardioid standar, mikrofon searah yang paling umum, dapat direpresentasikan sebagai {{nowrap|''r'' {{=}} 0.5 + 0.5sin(''φ'')}} pada frekuensi desain targetnya.<ref>{{Cite book|last=Eargle|first=John|authorlink=John M. Eargle|title=Handbook of Recording Engineering|year=2005|edition=Fourth|publisher=Springer|isbn = 0-387-28470-2}}</ref> Pola bergeser ke arah omnidirectionality pada frekuensi yang lebih rendah.
Baris 332 ⟶ 329:
 
== Pranala luar ==
{{wikibooksWikibooks|Kalkulus|Integrasi Polar}}
* {{springer|title=Polar coordinates|id=p/p073410}}
*{{dmoz|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}
*[http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter &mdash;— converts between polar, Cartesian and spherical coordinates]
*[http://scratch.mit.edu/projects/nevit/691690 Polar Coordinate System Dynamic Demo]
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Sistem_koordinat_polar"