Sistem dinamis: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Menambahkan bagian Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 10:
Studi sistem dinamikal adalah fokus [[teori sistem dinamikal]], yang memiliki aplikasi kepada serangkaian besar bidang seperti matematika, fisika,<ref>{{cite journal|last1=Melby|first1=P.|last2=et.al.|title=Dynamics of Self-Adjusting Systems With Noise|journal=Chaos 15|date=2005|doi=10.1063/1.1953147|bibcode=2005Chaos..15c3902M}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Gintautas|first1=V.|last2=et.al.|title=Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics|journal=J. Stat. Phys. 130|date=2008|doi=10.1007/s10955-007-9444-4|arxiv=0705.0311|bibcode=2008JSP...130..617G}}</ref> biologi,<ref>{{cite book |last1=Jackson |first1=T. |last2=Radunskaya |first2=A. |title=Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine |date=2015 |publisher=Springer }}</ref> kimia, teknik,<ref>{{cite book |first=Erwin |last=Kreyszig |title=Advanced Engineering Mathematics |location=Hoboken |publisher=Wiley |year=2011 |isbn=978-0-470-64613-7 }}</ref> ekonomi,<ref>{{cite book |last=Gandolfo |first=Giancarlo |authorlink=Giancarlo Gandolfo |title=Economic Dynamics: Methods and Models |location=Berlin |publisher=Springer |edition=Fourth |year=2009 |origyear=1971 |isbn=978-3-642-13503-3 }}</ref> dan kedokteran. Sistem dinamikal adalah sebuah bagian fundamental dari [[teori kekacauan]], dinamika [[peta logistik]], [[teori bifurkasi]], proses [[majelis diri]], dan konsep [[tepi kekacauan]].
== Ikhtisar ==
Konsep sistem dinamik berasal dari [[mekanika Newton]]. Di sana, seperti dalam ilmu alam dan disiplin teknik lainnya, aturan evolusi sistem dinamis adalah hubungan implisit yang memberikan keadaan sistem hanya untuk waktu yang singkat ke masa depan. (The relasinya bisa berupa [[persamaan diferensial]], [[relasi perulangan|persamaan perbedaan]] atau [[Kalkulus skala waktu| skala|waktu]] lainnya.) Untuk menentukan keadaan untuk semua waktu yang akan datang membutuhkan pengulangan hubungan berkali-kali setiap memajukan waktu satu langkah kecil. Prosedur iterasi disebut sebagai '' menyelesaikan sistem '' atau '' mengintegrasikan sistem ''. Bila sistem dapat diselesaikan, dengan titik awal dimungkinkan untuk menentukan semua posisi masa depannya, kumpulan titik yang dikenal sebagai '' [[lintasan]] '' atau '' [[orbit (dinamika)|orbit]] ''.
Sebelum munculnya [[komputer]], menemukan orbit memerlukan teknik matematika yang canggih dan hanya dapat dilakukan untuk kelas kecil sistem dinamis. Metode numerik yang diterapkan pada mesin komputasi elektronik telah menyederhanakan tugas penentuan orbit sistem dinamik.
Untuk sistem dinamis sederhana, mengetahui lintasan seringkali sudah cukup, tetapi kebanyakan sistem dinamis terlalu rumit untuk dipahami dalam kaitannya dengan lintasan individu. Kesulitan muncul karena:
* Sistem yang dipelajari mungkin hanya diketahui kira-kira parameter sistem mungkin tidak diketahui secara tepat atau istilah mungkin hilang dari persamaan. Perkiraan yang digunakan mempertanyakan validitas atau relevansi solusi numerik. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, beberapa pengertian tentang stabilitas telah diperkenalkan dalam studi sistem dinamis, seperti [[stabilitas Lyapunov]] atau [[stabilitas struktural]]. Stabilitas sistem dinamis menyiratkan bahwa ada kelas model atau kondisi awal yang lintasannya akan setara. Operasi untuk membandingkan orbit untuk menetapkan [[Hubungan kesetaraan|kesetaraan]] berubah dengan pengertian stabilitas yang berbeda.
* Jenis lintasan mungkin lebih penting daripada satu lintasan tertentu. Beberapa lintasan mungkin periodik, sedangkan yang lain mungkin berjalan melalui banyak keadaan sistem yang berbeda. Aplikasi sering kali memerlukan pencacahan kelas-kelas ini atau memelihara sistem dalam satu kelas. Mengklasifikasikan semua kemungkinan lintasan telah mengarah pada studi kualitatif sistem dinamis, yaitu properti yang tidak berubah di bawah perubahan koordinat. [[Sistem dinamika linear]] dan [[Teorema Poincaré–Bendixson|sistem yang memiliki dua bilangan yang menggambarkan suatu keadaan]] adalah contoh sistem dinamika yang kelas orbitnya mungkin dipahami.
* Perilaku lintasan sebagai fungsi parameter mungkin adalah apa yang dibutuhkan untuk aplikasi. Sebagai parameter yang bervariasi, sistem dinamis mungkin memiliki [[teori bifurkasi|titik bifurkasi]] di mana perilaku kualitatif sistem dinamis berubah. Misalnya, ini mungkin berubah dari hanya memiliki gerakan periodik menjadi perilaku yang tampaknya tidak menentu, seperti dalam [[Turbulensi|transisi ke turbulensi fluida]].
* Lintasan sistem mungkin tampak tidak menentu, seolah acak. Dalam kasus ini, mungkin perlu menghitung rata-rata menggunakan satu lintasan yang sangat panjang atau banyak lintasan yang berbeda. Rata-rata didefinisikan dengan baik untuk [[teori ergodik|sistem ergodik]] dan pemahaman yang lebih rinci telah dikerjakan untuk [[Anosov diffeomorphism|sistem hiperbolik]]. Memahami aspek probabilistik dari sistem dinamika telah membantu menetapkan dasar [[mekanika statistik]] dan [[teori kekacauan|kekacauan]].
== Sejarah ==
Banyak orang menganggap ahli matematika Prancis [[Henri Poincaré]] sebagai pendiri sistem dinamis.<ref>Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." ''Physics Reports'' 193.3 (1990): 137-163.</ref> Poincaré menerbitkan dua monograf klasik sekarang, "Metode Baru Mekanika Langit" (1892–1899) dan "Ceramah tentang Mekanika Langit" (1905–1910). Di dalamnya, ia berhasil menerapkan hasil penelitiannya pada masalah gerak tiga benda dan mempelajari secara detail perilaku larutan (frekuensi, stabilitas, asimtotik, dan sebagainya). Makalah ini termasuk [[Teorema pengulangan Poincaré]], yang menyatakan bahwa sistem tertentu akan, setelah waktu yang cukup lama tetapi terbatas, kembali ke keadaan yang sangat dekat dengan keadaan awal.
[[Aleksandr Lyapunov]] mengembangkan banyak metode pendekatan penting. Metodenya, yang ia kembangkan pada tahun 1899, memungkinkan untuk mendefinisikan kestabilan himpunan persamaan diferensial biasa. Dia menciptakan teori modern tentang stabilitas sistem dinamik.
Pada tahun 1913, [[George David Birkhoff]] membuktikan "[[Teorema Poincaré–Birkhoff|Teorema Geometris Terakhir]]" Poincaré, kasus khusus dari [[masalah tiga benda]], hasil yang membuatnya terkenal di dunia. Pada tahun 1927, dia menerbitkannya ''[http://www.ams.org/online_bks/coll9/ Dynamical Systems]''. Hasil Birkhoff yang paling tahan lama adalah penemuannya pada tahun 1931 tentang apa yang sekarang disebut [[teorema ergodik]]. Menggabungkan wawasan dari [[fisika]] pada [[hipotesis ergodik]] dengan [[teori pengukuran]], teorema ini memecahkan, setidaknya secara prinsip, masalah fundamental [[mekanika statistik]]. Teorema ergodik juga berdampak pada dinamika.
[[Stephen Smale]] juga membuat kemajuan yang signifikan. Kontribusi pertamanya adalah [[Tapal kuda peta|Tapal kuda]] yang memulai penelitian signifikan dalam sistem dinamis. He also outlined a research program carried out by many others.
[[Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky]] mengembangkan [[Teorema Sharkovsky]] pada periode [[sistem dinamika diskrit]] pada tahun 1964. Salah satu implikasi dari teorema tersebut adalah bahwa jika sistem dinamik diskrit pada [[garis nyata]] memiliki [[titik periodik]] periode 3, maka sistem tersebut harus memiliki titik periodik dari setiap periode lainnya.
Pada akhir abad ke-20, insinyur mesin Palestina [[Ali H. Nayfeh]] menerapkan [[dinamika nonlinier]] dalam sistem [[mekanika|mekanika]] dan [[teknik]].<ref name="Rega">{{cite book |last1=Rega |first1=Giuseppe |chapter=Tribute to Ali H. Nayfeh (1933-2017) |title=IUTAM Symposium on Exploiting Nonlinear Dynamics for Engineering Systems |date=2019 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=9783030236922 |url=https://books.google.com/books?id=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 |pages=1–2}}</ref> Karya perintisnya dalam dinamika nonlinier terapan telah berpengaruh dalam konstruksi dan pemeliharaan [[mesin]] dan [[struktur]] yang umum dalam kehidupan sehari-hari, seperti [[kapal]], [[crane (mesin)|crane]], [[jembatan]], [[bangunan]], [[gedung pencakar langit]], [[mesin jet]], [[mesin roket]], [[pesawat]] dan [[pesawat ruang angkasa]].<ref name="fi">{{cite web |title=Ali Hasan Nayfeh |url=https://www.fi.edu/laureates/ali-hasan-nayfeh |website=[[Franklin Institute Awards]] |publisher=[[The Franklin Institute]] |accessdate=25 Agustus 2019 |date=4 February 2014}}</ref>
== Definisi dasar ==
{{Main|Sistem dinamikal (definisi)}}
Sistem dinamik adalah [[manifold]] '' M '' yang disebut ruang fase (atau keadaan) yang diberkahi dengan keluarga fungsi evolusi halus Φ<sup>''t''</sup> bahwa untuk setiap elemen dari '' t '' ∈ '' T '', waktu, petakan titik [[ruang fase]] kembali ke ruang fase. Gagasan tentang kehalusan berubah dengan aplikasi dan jenis manifold. Ada beberapa pilihan untuk himpunan '' T ''. Ketika '' T '' dianggap real, sistem dinamik disebut '' [[Aliran (matematika)|aliran]] ''; dan jika '' T '' dibatasi untuk real non-negatif, maka sistem dinamik adalah '' semi-aliran ''. Ketika '' T '' diambil sebagai integer, itu adalah '' cascade '' atau '' map ''; dan batasan untuk bilangan bulat non-negatif adalah '' semi-cascade ''.
Catatan: Ada syarat teknis lebih lanjut itu Φ<sup>''t''</sup> adalah tindakan '' T '' pada '' M ''. Maka hal tersebut termasuk fakta-fakta itu Φ<sup>''0''</sup> adalah fungsi identitas dan itu Φ<sup>''s+t''</sup> adalah komposisi Φ<sup>''s''</sup> dan Φ<sup>''t''</sup>. Ini adalah aksi semigroup, yang tidak memerlukan keberadaan nilai negatif untuk '' t '', dan tidak memerlukan fungsi Φ<sup>''t''</sup> menjadi bisa dibalik.
=== Contoh ===
Fungsi evolusi Φ<sup> ''t''</sup> sering menjadi solusi dari '' persamaan gerak diferensial ''
: <math> \dot{x} = v(x). </math>
Persamaan tersebut memberikan turunan waktu, diwakili oleh titik, dari lintasan '' x '' ('' t '') pada ruang fase yang dimulai dari beberapa titik ''x''<sub>0</sub>. [[Bidang vektor]] '' v ''('' x '') adalah fungsi halus yang pada setiap titik ruang fase '' M '' menyediakan vektor kecepatan sistem dinamis pada titik tersebut. (Vektor-vektor ini bukanlah vektor dalam ruang fase '' M '', tetapi dalam [[ruang tangen]] ''T<sub>x</sub>M'' dari titik '' x ''.) Diberikan halus Φ<sup> ''t''</sup>, bidang vektor otonom dapat diturunkan darinya.
Tidak perlu turunan orde tinggi dalam persamaan, atau ketergantungan waktu dalam '' v ''('' x '') karena ini dapat dihilangkan dengan mempertimbangkan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi. Jenis [[persamaan diferensial]] lainnya dapat digunakan untuk menentukan aturan evolusi:
: <math> G(x, \dot{x}) = 0 </math>
merupakan contoh persamaan yang muncul dari pemodelan sistem mekanik dengan kendala yang rumit.
Persamaan diferensial menentukan fungsi evolusi Φ<sup> ''t''</sup> sering kali [[persamaan diferensial biasa]]; dalam hal ini ruang fase '' M '' adalah manifol berdimensi hingga. Banyak konsep dalam sistem dinamis dapat diperluas ke lipatan berdimensi tak hingga — yang secara lokal [[Ruang Banach]] dalam hal ini persamaan diferensial adalah [[persamaan diferensial parsial]]. Pada akhir abad ke-20, perspektif sistem dinamis terhadap persamaan diferensial parsial mulai populer.
=== Contoh lebih lanjut ===
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Peta kucing Arnold]]
* [[Peta Baker]] adalah contoh dari peta [[fungsi linear bagian|linier sepotong]] kacau
* [[Biliar dinamis|Biliar]] dan [[Biliar luar dinamis|biliar luar]]
* [[Dinamika bola memantul]]
* [[Peta lingkaran]]
* [[Polinomial kuadrat kompleks]]
* [[Pendulum ganda]]
* [[Transformasi Dyadic]]
* [[Peta Hénon]]
* [[Rotasi irasional]]
* [[Peta Kaplan–Yorke]]
* [[Daftar peta chaotic]]
* [[Penarik Lorenz|Sistem Lorenz]]
* [[Peta polinomial kuadrat kompleks#|Sistem simulasi peta kuadrat]]
* [[Peta Rössler]]
* [[Mesin Ayun Atwood]]
* [[Peta tenda]]
{{Div col end}}
== Sistem dinamis linear ==
{{Main|Sistem dinamis linear}}
Sistem dinamika linier dapat diselesaikan dalam istilah fungsi sederhana dan perilaku semua orbit yang diklasifikasikan. Dalam sistem linier, ruang fase adalah ruang Euklides berdimensi '' N '', sehingga titik mana pun dalam ruang fase dapat direpresentasikan oleh vektor dengan angka '' N ''. Analisis sistem linier dimungkinkan karena memenuhi [[prinsip superposisi]]: bila '' u ''('' t '') dan '' w ''('' t '') memenuhi persamaan diferensial untuk bidang vektor (tapi tidak perlu), maka begitu juga '' u ''('' t '') + '' w ''('' t '').
=== Arus ===
Untuk [[aliran (matematika)|aliran]], bidang vektor v ('' x '') adalah fungsi [[transformasi affin|affin]] dari posisi dalam ruang fase, yaitu,
:<math> \dot{x} = v(x) = A x + b,</math>
dengan '' A '' matriks, '' b '' vektor angka dan '' x '' vektor posisi. Solusi untuk sistem ini dapat ditemukan dengan menggunakan prinsip superposisi (linieritas).
Kasus '' b '' ≠ 0 dengan '' A '' = 0 hanyalah garis lurus ke arah '' b '':
: <math>\Phi^t(x_1) = x_1 + b t. </math>
Ketika '' b '' adalah nol dan '' A '' ≠ 0, titik asal adalah titik ekuilibrium (atau singular) aliran, yaitu, bila ''x''<sub>0</sub>= 0, maka orbitnya tetap di sana.
Untuk kondisi awal lainnya, persamaan gerak diberikan oleh [[matriks eksponensial|eksponensial matriks]]: untuk titik awal ''x''<sub>0</sub>,
: <math>\Phi^t(x_0) = e^{t A} x_0. </math>
Ketika '' b '' = 0, [[nilai eigen]] dari '' A '' menentukan struktur ruang fase. Dari nilai eigen dan [[vektor eigen]] dari '' A '' adalah mungkin untuk menentukan apakah titik awal akan bertemu atau menyimpang ke titik ekuilibrium di titik asal.
Jarak antara dua kondisi awal yang berbeda dalam kasus '' A '' ≠ 0 akan berubah secara eksponensial dalam banyak kasus, baik secara eksponensial cepat menuju suatu titik, atau divergen eksponensial. Sistem linier menampilkan ketergantungan sensitif pada kondisi awal jika terjadi divergensi. Untuk sistem nonlinier ini adalah salah satu kondisi (perlu tapi tidak cukup) untuk [[teori kekacauan]]
[[Berkas:LinearFields.png|thumb|500px|center|Bidang vektor linear dan beberapa lintasan.]]
{{-}}
===Maps===
[[Sistem dinamika waktu-diskrit|waktu-diskrit]], [[Transformasi affin|affin]] sistem dinamik berbentuk a [[persamaan perbedaan matriks]]:
: <math> x_{n+1} = A x_n + b, </math>
dengan '' A '' matriks dan '' b '' vektor. Seperti dalam kasus berkelanjutan, perubahan koordinat '' x '' → '' x '' + (1 - '' A '') <sup> –1 </sup> '' b '' menghapus istilah. Dalam [[sistem koordinat]] baru, titik asal adalah titik tetap pada peta dan solusinya adalah sistem linear ''A''<sup> ''n''</sup>''x''<sub>0</sub>.
Solusi untuk peta tidak lagi kurva, tetapi titik-titik yang melompat dalam ruang fase. Orbit diatur dalam kurva, atau serat, yang merupakan kumpulan titik yang memetakan dirinya di bawah.
Seperti dalam kasus kontinu, nilai eigen dan vektor eigen dari '' A '' menentukan struktur ruang fase. Contohnya, bila ''u''<sub>1</sub> adalah vektor eigen dari '' A '', dengan nilai eigen nyata lebih kecil dari satu, maka garis lurus diberikan oleh titik-titik di sepanjang ''α'' ''u''<sub>1</sub>, dengan ''α'' ∈ '''R''', adalah kurva invarian dari peta. Titik-titik dalam garis lurus ini menuju ke titik tetap.
Ada juga banyak [[Daftar peta yang kacau|sistem dinamika diskrit lainnya]].
== Lihat pula ==
{{Portal|Ilmu sistem}}
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Pemodelan perilaku]]
* [[Model kognitif#Sistem dinamis|Pemodelan kognitif]]
* [[Dinamika kompleks]]
* [[Pendekatan dinamis untuk pengembangan bahasa kedua]]
* [[Passivasi masukan]]
* [[Komposisi tak terbatas dari fungsi analitik]]
* [[Daftar topik sistem dinamis]]
* [[Osilasi]]
* [[Orang-orang dalam sistem dan kontrol]]
* [[Teorema Sharkovskii]]
* [[Dinamika sistem]]
* [[Teori sistem]]
* [[Prinsip kaliber maksimum]]
{{Div col end}}
== Referensi ==
| |||