Bilangan asli: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ←Suntingan Raya mahendra (bicara) dibatalkan ke versi terakhir oleh Philosophical Zombie Bot Tag: Pengembalian |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 20:
== Penulisan ==
[[Berkas:U+2115.svg|right|thumb|upright|Simbol N kapital [[Papan tebal | dicetak dua kali]], sering digunakan untuk menunjukkan himpunan semua bilangan asli (lihat [[Daftar simbol matematika]]).]]
Para ahli [[matematika]] menggunakan '''N''' atau <math>\mathbb{N}</math> untuk menuliskan [[himpunan (matematika)|himpunan]] seluruh bilangan asli. Himpunan bilanan ini bisa dikatakan tidak terbatas.
Baris 26 ⟶ 27:
: <math>\mathbb{N}^0 = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math>
: <math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}.</math>
== Properti ==
=== angka tak hingga ===
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut [[tak hingga|tak hingga]]. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[bijective]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis tak terhingga ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan pokok]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan Aleph#Aleph-naught|aleph-naught]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>
=== Penambahan ===
Seseorang dapat secara rekursif mendefinisikan [[Penjumlahan N | penjumlahan]] [[operasi (matematika)|operator]] pada bilangan asli dengan menyetel {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} dan {{math|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} for all {{math|''a''}}, {{math|''b''}}.{{math|''S''}} harus dibaca sebagai "[[Fungsi penerus|penerus]]". Ini mengubah bilangan asli {{math|(ℕ, +)}} menjadi [[komutatif]] [[monoid]] dengan [[elemen identitas]] 0, yang disebut [[objek bebas]] dengan satu generator. Monoid ini memenuhi [[properti pembatalan]], dan dapat dimasukkan ke dalam [[kelompok (matematika) | kelompok]] (dalam arti kata [[teori kelompok]]). Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah [[bilangan bulat]].
Bila 1 didefinisikan sebagai {{math|''S''(0)}}, then {{math|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}. Itu adalah, {{math|''b'' + 1}} hanyalah penerus {{math|''b''}}.
=== Perkalian ===
Secara analogi, jika penjumlahan telah ditentukan, operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui {{math|''a'' × 0 {{=}} 0}} dan {{math|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}. This turns {{math|(ℕ<sup>*</sup>, ×)}} menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]].
=== Hubungan penjumlahan dan perkalian ===
Penjumlahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Properti penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semirings adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dimana perkalian. Kurangnya aditif invers, yang setara dengan fakta bahwa {{math|ℕ}} tidak [[penutupan (matematika)|tertutup]] dalam pengurangan (yaitu, mengurangkan satu natural dari yang lain tidak selalu menghasilkan natural lain), berarti bahwa {{math|ℕ}} adalah '' bukan '' a [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan sebuah [[semiring]] (juga dikenal sebagai
''gelanggang'')
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × adalah seperti di atas, kecuali bahwa mereka diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
<!--
===Order===
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}},<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Multiplication |url=https://mathworld.wolfram.com/Multiplication.html |access-date=2020-07-27 |website=mathworld.wolfram.com |lang=en}}</ref> and the standard [[order of operations]] is assumed.
A [[total order]] on the natural numbers is defined by letting {{math|''a'' ≤ ''b''}} if and only if there exists another natural number {{math|''c''}} where {{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. This order is compatible with the [[arithmetical operations]] in the following sense: if {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are natural numbers and {{math|''a'' ≤ ''b''}}, then {{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} and {{math|''ac'' ≤ ''bc''}}.
An important property of the natural numbers is that they are [[well-order]]ed: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an [[ordinal number]]; for the natural numbers, this is denoted as [[omega (ordinal)|{{math|''ω''}}]] (omega).
===Division===
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}}, and the standard [[order of operations]] is assumed.
While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of ''[[Division (mathematics)|division]] with remainder'' is available as a substitute: for any two natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}} with {{math|''b'' ≠ 0}} there are natural numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} such that
:{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} and {{math|''r'' < ''b''}}.
The number {{math|''q''}} is called the ''[[quotient]]'' and {{math|''r''}} is called the ''[[remainder]]'' of the division of {{math|''a''}} by {{math|''b''}}. The numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} are uniquely determined by {{math|''a''}} and {{math|''b''}}. This [[Euclidean division]] is key to several other properties ([[divisibility]]), algorithms (such as the [[Euclidean algorithm]]), and ideas in number theory.
===Algebraic properties satisfied by the natural numbers===
The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:
* [[Closure (mathematics)|Closure]] under addition and multiplication: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, both {{math|''a'' + ''b''}} and {{math|''a'' × ''b''}} are natural numbers.<ref>{{cite book |last1=Fletcher |first1=Harold |last2=Howell |first2=Arnold A. |date=2014-05-09 |title=Mathematics with Understanding |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-8079-0 |page=116 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA116&dq=Natural+numbers+closed&hl=en |quote=...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref>
* [[Associativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}, {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} and {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book |last=Davisson |first=Schuyler Colfax |title=College Algebra |date=1910 |publisher=Macmillian Company |page=2 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA2&dq=Natural+numbers+associative&hl=en |quote=Addition of natural numbers is associative.}}</ref>
* [[Commutativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} and {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |last1=Brandon |first1=Bertha (M.) |last2=Brown |first2=Kenneth E. |last3=Gundlach |first3=Bernard H. |last4=Cooke |first4=Ralph J. |date=1962 |title=Laidlaw mathematics series |publisher=Laidlaw Bros. |volume=8 |page=25 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref>
* Existence of [[identity element]]s: for every natural number ''a'', {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* [[Distributivity]] of multiplication over addition for all natural numbers {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
* No nonzero [[zero divisor]]s: if {{math|''a''}} and {{math|''b''}} are natural numbers such that {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, then {{math|''a'' {{=}} 0}} or {{math|''b'' {{=}} 0}} (or both).-->
== Referensi ==
| |||