Basis (aljabar linear): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Menghilangkan spasi sebelum tanda koma dan tanda titik dua |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 5:
# Setiap <math>\mathbf{v}\in V</math> dapat dituliskan sebagai <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^ka_i\mathbf{b}_i</math> dengan <math>k\in\mathbb{N}, a_1,\ldots,a_k\in F, \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k\in B</math>.
# Jika <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^{\tilde{k}}\tilde{a}_i\tilde{\mathbf{b}}_i</math> representasi lain, maka <math>k=\tilde{k}</math> dan ada suatu permutasi <math>\iota:\{1,\ldots,k\}\to\{1,\ldots,k\}</math> yang <math>a_i=\tilde{a}_{\iota (i)}</math> dan <math>\mathbf{b}_i=\tilde{\mathbf{b}}_{\iota (i)}</math>.
== Contoh ==
[[Berkas:Basis graph (no label).svg|thumb|400px|Gambar ini mengilustrasikan [[basis standar]] pada '''''R'''<sup>2</sup>''. Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya; vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis, dan begitu juga [[bergantung linear]] padanya.]]
*Himpunan [[eksponen atas himpunan |{{math|'''R'''<sup>2</sup>}}]] dari [[pasangan terurut]] dari [[bilangan riil]] adalah ruang vektor untuk penjumlahan berdasarkan komponen
::<math>(a, b) + (c, d) = (a + c, b+d),</math>
:dan perkalian skalar
::<math>\lambda (a,b) = (\lambda a, \lambda b),</math>
:dimana <math>\lambda</math> adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut [[basis standar]] terdiri dari dua vektor {{math|1=''e''<sub>1</sub> = (1,0)}} and {{math|1=''e''<sub>2</sub> = (0,1)}}, karena vektor apapun {{math|1=''v'' = (''a'', ''b'')}} dari {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} dapat ditulis secara unik sebagai
::<math>v= ae_1+be_2.</math>
:Pasangan vektor bebas linear lainnya {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, seperti {{math|(1, 1)}} dan {{math|(−1, 2)}}, bentuk menjadi dasar {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}.
*Lebih umum lagi, jika {{mvar|F}} adalah [[medan (matematika)|bidang]], himpunan <math>F^n</math> dari [[tupel|{{mvar|n}}-tupel]] dari elemen {{mvar|F}} adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena
::<math>e_i = (0, \ldots, 0,1,0,\ldots, 0)</math>
:jadilah tupel {{mvar | n}} dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali {{mvar|i}} yaitu 1. Kemudian <math>e_1, \ldots, e_n</math> adalah basis dari <math>F^n</math> yang disebut '' basis standar '' dari <math>F^n.</math>
*Jika {{mvar|F}} adalah bidang [[gelanggang polinomial]] {{math|''F''[''X'']}} dari [[polinomial]] dalam satu [[tak tentu (variabel)|tak tentu]] memiliki basis {{mvar|B}}, yang disebut [[basis monomial]], yang terdiri dari semua [[monomial]]:
::<math>B=\{1, X, X^2, \ldots\}.</math>
:Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut [[urutan polinomial]]. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah [[polinomial Bernstein|polinomial basis Bernstein]], dan [[polinomial Chebyshev]].
== Koordinat {{anchor|Basis dan koordinat order}} ==
Misalkan {{mvar|V}} menjadi ruang vektor berdimensi berhingga {{mvar|n}} di atas bidang {{mvar|F}}, dan
:<math>B=\{b_1, \ldots, b_n\}</math>
menjadi dasar dari {{mvar|V}}. Menurut definisi basis, setiap {{mvar|v}} pada {{mvar|V}} dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti
:<math>v=\lambda_1 b_1 + \cdots + \lambda_n b_n,</math>
dimana koefisiennya <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> adalah skalar (yaitu, elemen {{mvar|F}}), yang disebut '' koordinat '' dari {{mvar|v}} di atas {{mvar|B}}. Namun, jika seseorang berbicara tentang '' himpunan '' koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki '' himpunan '' koefisien yang sama. Sebagai contoh, <math>3b_1 +2b_2</math> dan <math>2b_1 +3b_2</math> memiliki koefisien yang sama {{math|{2, 3}{{void}}}}, dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan '''dasar yang teratur'''; ini biasanya dilakukan oleh [[kumpulan indeks|pengindeksan]] elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk [[urutan (matematika)|urutan]] dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut '''frame''', kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.
Misalkan, seperti biasa, <math>F^n</math> menjadi himpunan [[tupel|{{mvar|n}}-tupel]] dari elemen {{mvar|F}}. Himpunan ini adalah {{mvar|F}} ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta
:<math>\varphi: (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \mapsto \lambda_1 b_1 + \cdots + \lambda_n b_n</math>
is a [[linear isomorphism]] from the vector space <math>F^n</math> onto {{mvar|V}}. In other words, <math>F^n</math> is the [[coordinate space]] of {{mvar|V}}, and the {{mvar|n}}-tuple <math>\varphi^{-1}(v)</math> is the [[coordinate vector]] of {{mvar|v}}.
[[Gambar invers]] oleh <math>\varphi</math> pada <math>b_i</math> adalah {{mvar|n}}-tupel <math>e_i</math> semua yang komponennya 0, kecuali yang ke {{mvar|i}} yaitu 1. <math>e_i</math> membentuk dasar terurut dari <math> F ^ n, </math> yang disebut [[standar dasar]] atau [[dasar kanonik]]. Dasar yang diurutkan {{mvar|B}} adalah gambar oleh <math>\varphi </math> dari dasar kanonik <math>F^n</math>.
Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik <math>F^n</math>, dan bahwa setiap isomorfisme linier dari <math>F^n</math> ke {{mvar|V}} dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik <math>F^n</math> ke urutan tertentu dasar dari {{mvar|V}}. Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari {{mvar|V}}, atau isomorfisme linier dari <math>F^n</math> ke {{mvar|V}}.
== Perubahan basis ==
{{main|Perubahan basis}}
Maka {{math|''V''}} jadilah ruang vektor berdimensi {{mvar|n}} di atas bidang {{math|''F''}}. Diberikan dua pangkalan (order) <math>B_\mathrm {old}=(v_1, \ldots, v_n)</math> dan <math>B_\mathrm {new}=(w_1, \ldots, w_n)</math> dari {{math|''V''}}, sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor {{mvar | x}} sehubungan dengan <math>B_\mathrm {old}</math> dalam hal koordinat sehubungan dengan <math>B_\mathrm {new}.</math> Ini dapat dilakukan dengan '' rumus perubahan-basis '', yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk <math>B_\mathrm {old}</math> dan <math>B_\mathrm {new}</math> sebagai '' dasar lama '' dan '' dasar baru ''. Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki [[ekspresi (matematika) | ekspresi]] yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.
Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu
:<math>w_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}v_i.</math>
If <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> and <math>(y_1, \ldots, y_n)</math> are the coordinates of a vector {{mvar|x}} over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is
:<math>x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j,</math>
for {{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}.
Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi [[matriks (matematika) | matriks]]. Misalkan {{mvar|A}} adalah matriks dari <math>a_{i,j},</math> dan
:<math>X= \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\quad</math> dan <math>\quad Y= \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}</math>
jadilah [[vektor kolom]] dari koordinat {{mvar|v}} di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah
:<math>X=AY.</math>
Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor {{mvar|x}} pada dua basa: satu memiliki
:<math>x=\sum_{i=1}^n x_i v_i,</math>
dan
:<math>\begin{align}
x&=\sum_{j=1}^n y_j w_j \\
&=\sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}v_i\\
&=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\right)v_i.
\end{align}</math>
Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini <math>B_\mathrm {old};</math> adalah
:<math>x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j,</math>
untuk {{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}.
== Lihat pual ==
* {{Annotated link|Perubahan basis}}
* {{Annotated link|Bingkai ruang vektor}}
* {{Annotated link|Basis bola}}
== Rujukan ==
| |||