Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinom dengan derajat 5, dengan 3 nol nyata (akar) dan 4 [[titik kritis (matematika) | titik kritis]].]]

Dalam [[aljabar]], '''Fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika) | fungsi]] dari bentuk

di mana {{mvar | a}}, {{mvar | b}}, {{mvar | c}}, {{mvar | d}}, {{mvar | e}} dan {{mvar | f}} adalah anggota dari [[medan (matematika) | bidang]], biasanya [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] atau [[bilangan kompleks]] s, dan {{mvar | a}} bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik ditentukan oleh lima [[polinomial]] dari [[Derajat polinomial | derajat]] lima.

Karena mereka memiliki derajat ganjil, fungsi kuintik normal tampak serupa dengan [[fungsi kubik]] normal ketika digambarkan, kecuali mereka mungkin memiliki tambahan [[Maxima dan minima | maksimum lokal]] dan minimum lokal masing-masing. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].

Memecahkan persamaan kuintik dalam istilah akar adalah masalah utama dalam aljabar dari abad ke-16, ketika [[persamaan kubik | kubik]] dan [[persamaan kuartik]] diselesaikan, sampai paruh pertama abad ke-19, ketika ketidakmungkinan solusi umum seperti itu dibuktikan dengan [[Teorema Abel–Ruffini]].

Memecahkan [[Persamaan linier | linier]], [[Persamaan kuadrat | kuadrat]], [[Persamaan kubik | kubik]] dan [[persamaan kuartik]] s dengan [[faktorisasi]] menjadi [[ekspresi radikal]] selalu bisa dilakukan, tidak peduli apakah akarnya rasional atau irasional, nyata atau kompleks; ada rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Namun, tidak ada [[ekspresi aljabar]] (yaitu, dalam istilah akar) untuk solusi persamaan kuintik umum di atas rasio; Pernyataan ini dikenal sebagai [[Teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali ditegaskan pada tahun 1799 dan dibuktikan sepenuhnya pada tahun 1824. Hasil ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Contoh kuintik yang akarnya tidak dapat diekspresikan dalam akar adalah {{math|''x''⁵ − ''x'' + 1 {{=}} 0}}. Kuintik ini dalam [[rumus kenormalan Bring–Jerrard]].

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar. Ini termasuk persamaan kuintik yang ditentukan oleh polinomial yang [[polinomial tak tersederhanakan | dapat direduksi]], seperti {{math|''x''⁵ − ''x''⁴ − ''x'' + 1 {{=}} (''x''² + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)²}}. Misalnya, sudah ditampilkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf </ref> that

Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard | Jerrard]] mendemonstrasikan bahwa quintics dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (juga dikenal sebagai [[Bring radikal]] s), akar asli unik dari {{math|''t''⁵ + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan riil {{math|''a''}}. Pada tahun 1858 [[Charles Hermite]] menunjukkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam istilah [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] yang terkait, menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal untuk menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]], menggunakan [[teori grup]], mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk mendapatkan hasil Hermite, seperti yang telah [[Francesco Brioschi]]. Belakangan, [[Felix Klein]] menemukan metode yang menghubungkan kesimetrian [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang ditampilkan dalam solusi Hermite, memberikan penjelasan mengapa fungsi tersebut harus muncul, dan mengembangkan solusinya sendiri dalam istilah [[fungsi hipergeometrik umum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena serupa terjadi dalam derajat {{math | 7}} ([[persamaan septik]] s) dan {{math | 11}}, seperti yang dipelajari oleh Klein dan dibahas di {{slink|Simetri Icosahedral|Geometri terkait}}.

Lebih tepatnya, lokasi ''L''₂ dan ''L''₁ adalah solusi untuk persamaan berikut, di mana gaya gravitasi dua massa pada sepertiga (misalnya, Matahari dan Bumi pada satelit seperti [[Gaia probe | Gaia]] di ''L''₂ dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] pada ''L''₁) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari: