Revisi per 28 Oktober 2020 13.00 sunting S Rifqi (bicara \| kontrib) 1.418 suntingan penerjemahan awal dari en:Elliptic curve		Revisi per 29 Oktober 2020 16.00 sunting balikkan S Rifqi (bicara \| kontrib) 1.418 suntingan pengembangan artikel Revisi selanjutnya →
Baris 5: : <math>y^2 = x^3 + ax + b.</math> Kurva eliptis harus ~~tidak memiliki~~ [[Titik tunggal kurva\|~~titik tunggal~~nonsingular]], yakni tidak memiliki [[Taring (singularitas)\|taring]] atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan <math>4a^3 + 27b^2 \ne 0.</math> Kurva eliptis ''bukanlah'' [[elips]]: lihat [[integral eliptis]] untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptis kompleks adalah [[torus]], sedangkan elips kompleks adalah [[Bola (geometri)\|bola]]. == Aturan grup == {{utama\|Perkalian titik kurva eliptis}} [[Gambar:ECClines.svg\|right\|thumb\|600px\|Operasi titik kurva eliptis: pertambahan (kasus I), penggandaan (kasus II dan IV), dan negasi (kasus III)]] Ketika bekerja dalam [[bidang proyektif]], kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, ''O'', dalam [[koordinat homogen]] [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup. Karena kurva ini simetris terhadap sumbu ''x'', untuk sembarang titik ''P'', kita definisikan -''P'' sebagai lawannya. Kita anggap -''O'' sama dengan ''O''. Jika titik ''P'' dan ''Q'' adalah dua titik pada kurva, kita dapat definisikan titik ketiga, {{math\|''P'' + ''Q''}}, sebagai berikut. Pertama, kita buat garis yang memotong ''P'' dan ''Q''. Lalu, garis tersebut akan memotong kurva pada titik lain yang kita sebut ''R''. Kemudian, kita definisikan {{math\|''P'' + ''Q'' {{=}} -''R''}}, yaitu lawan dari ''R''. Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan {{math\|''P'' + ''O'' = ''O'' + ''P'' = ''P''}} sehingga ''O'' adalah identitas grup. Jika ''P'' dan ''Q'' saling berlawanan, kita definisikan {{math\|''P'' + ''Q'' {{=}} ''O''}}. Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai garis singgung kurva eliptis pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila ''P'' berada pada [[titik belok]], kita ambil ''R'' sebagai ''P'' sehingga {{math\|''P'' + ''P''}} adalah lawan dirinya sendiri. == Kurva eliptis dalam bilangan riil == Baris 17 ⟶ 28: dengan ''a'' dan ''b'' bilangan riil. Definisi kurva eliptis juga mewajibkan kurva untuk ~~tidak memiliki~~ [[Titik tunggal kurva\|~~titik tunggal~~nonsingular]]. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki [[Taring (singularitas)\|taring]], tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya : <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math> Baris 23 ⟶ 34: tidak sama dengan nol. Grafik (riil) suatu kurva yang ~~tidak memiliki titik tunggal~~nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, diskriminan kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368. == Kurva eliptis dalam bilangan kompleks == Baris 32 ⟶ 43: == Kurva eliptis dalam medan umum == Kurva eliptis dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)\|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptis adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''. ~~{{empty section}}~~ Jika [[Karakteristik (aljabar)\|karakteristik]] ''K'' bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptis dapat ditulis dalam bentuk : <math>y^2 = x^3 - px - q</math> dengan ''p'' dan ''q'' adalah anggota ''K'' yang menyebabkan ruas kanan tidak memiliki akar ganda. Jika karakteristiknya 2 atau 3, ada beberapa suku yang harus ditambah. Untuk karakteristik 3, bentuk paling umumnya adalah : <math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math> dengan tetapan ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>4</sub>, dan ''b''<sub>6</sub> yang menyebabkan ruas kanan memiliki akar berbeda (notasi dipilih karena alasan sejarah). Untuk karakteristik 2, bentuk paling umumnya adalah :<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math> dengan catatan bahwa ragam yang didefinisikan adalah nonsingular. Jika karakteristik bukan halangan, tiap persamaan dapat disederhanakan menjadi seperti sebelumnya dengan mengganti beberapa variabel. == Kurva eliptis dalam medan berhingga ==

Kurva eliptik: Perbedaan antara revisi