Revisi per 13 November 2020 03.43 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan		Revisi terkini sejak 17 November 2020 08.02 sunting balikkan FBN122645 (bicara \| kontrib) Peninjau, Pengembali revisi 11.417 suntingan k clean up using AWB
Baris 1: Dalam [[matematika]], [[teori kategori \| kategori]] '''Ab''' memiliki [[grup abelian]] sebagai [[objek (teori kategori) \| objek]] dan [[homomorfisme grup]] sebagai [[morfisme]]. Ini adalah prototipe dari [[kategori abelian]]:<ref>Pedicchio & Tholen (2004) p.200</ref> memang, setiap [[Kategori kecil \| kecil]] pada [[kategori abelian]] dapat disematkan '''Ab'''.<ref>Mac Lane (1998) p.209</ref> == Sifat == Baris 6: [[Monomorfisme]] pada '''Ab''' adalah homomorfisme grup [[injektif]], [[epimorfisme]] adalah homomorfisme grup [[konjektur]], dan [[isomorfisme]] adalah homomorfisme kelompok [[bijektif]]. '''Ab''' adalah [[subkategori lengkap]] dari '''Grp''', [[kategori grup \| kategori '' semua '' grup]]. Perbedaan utama antara '''Ab''' dan '''Grp''' adalah bahwa jumlah dari dua homomorfisme ''f'' dan ''g'' antara grup abelian sekali lagi merupakan homomorfisme kelompok: :{{math\|(''f''+''g'')(''x''+''y'') {{=}} ''f''(''x''+''y'') + ''g''(''x''+''y'') {{=}} ''f''(''x'') + ''f''(''y'') + ''g''(''x'') + ''g''(''y'') {{=}} ''f''(''x'') + ''g''(''x'') + ''f''(''y'') + ''g''(''y'') {{=}} (''f''+''g'')(''x'') + (''f''+''g'')(''y'')}} Persamaan ketiga mensyaratkan kelompok menjadi abelian. Penambahan morfisme ini mengubah '''Ab''' menjadi [[kategori preadditif]], dan karena [[jumlah langsung grup abelian \| jumlah langsung]] dari banyak grup abelian tak terhingga menghasilkan [[produk ganda]], kami memang memiliki [[kategori aditif]]. Dalam '''Ab''', pengertian [[kernel (teori kategori) \| kernel dalam pengertian teori kategori]] bertepatan dengan [[kernel (aljabar) \| kernel dalam pengertian aljabar]], yaitu kernel kategorikal dari morfisme '' f '': '' A '' → '' B '' adalah subgrup '' K '' dari '' A '' yang didefinisikan oleh ''K'' = {''x'' ~~∈~~∈ ''A'' : ''f''(''x'') = 0}, bersama dengan homomorfisme inklusi '' i '': '' K '' → '' A ''. Hal yang sama juga berlaku untuk [[cokernel]]; cokernel dari '' f '' adalah [[grup hasil bagi]] ''C'' = ''B'' / ''f''(''A'') bersama dengan proyeksi alam ''p'' : ''B'' → ''C''. (Perhatikan perbedaan penting lainnya antara '''Ab''' dan '''Grp''': pada '''Grp''' it dapat terjadi bahwa '' f '' ('' A '') bukan [[subgrup normal]] dari '' B '', dan oleh karena itu grup hasil bagi ''B'' / ''f''(''A'') tidak dapat dibentuk.) Dengan deskripsi konkret tentang kernel dan cokernels ini, cukup mudah untuk memeriksa bahwa '''Ab''' memang sebuah [[kategori abelian]]. <!-- The [[product (category theory)\|product]] in '''Ab''' is given by the [[direct product of groups\|product of groups]], formed by taking the [[cartesian product]] of the underlying sets and performing the group operation componentwise. Because '''Ab''' has kernels, one can then show that '''Ab''' is a [[complete category]]. The [[coproduct]] in '''Ab''' is given by the direct sum; since '''Ab''' has cokernels, it follows that '''Ab''' is also [[cocomplete]]. Baris 20: Taking [[direct limit]]s in '''Ab''' is an [[exact functor]]. Since the group of integers '''Z''' serves as a [[Generator (category theory)\|generator]], the category '''Ab''' is therefore a [[Grothendieck category]]; indeed it is the prototypical example of a Grothendieck category. An object in '''Ab''' is [[injective module\|injective]] if and only if it is a [[divisible group]]; it is [[projective module\|projective]] if and only if it is a [[free abelian group]]. The category has a projective generator ('''Z''') and an [[injective cogenerator]] ('''Q'''/'''Z'''). Given two abelian groups ''A'' and ''B'', their [[tensor product]] ''A''⊗''B'' is defined; it is again an abelian group. With this notion of product, '''Ab''' is a [[closed monoidal category\|closed]] [[monoidal category\|symmetric monoidal category]]. Baris 37: {{DEFAULTSORT:Category Of Abelian Groups}} [[~~Category~~Kategori:Categories in category theory\|Abelian groups]] [[~~Category~~Kategori:Group theory]]

Kategori grup abelian: Perbedaan antara revisi