Infimum dan supremum: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Terdapat kesalahan menerjemah kata atau kalimat sehingga harus diperbaiki |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Definisi formal: Perbaikan kesalahan menerjemah kata + Perbaikan tata bahasa |
||
Baris 15:
* <math>a \leq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>.
Sebuah batas bawah <math>a</math> dari <math>S </math> disebut sebuah ''infimum'' (atau ''
* jika semua batas bawah <math>y</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, <math>y \leq a</math> (<math>a</math> lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya).
Baris 28:
== Keberadaan dan ketunggalan ==
Infima dan suprema tidak perlu ada. Keberadaan dari sebuah infimum dari sebuah himpunan terurut parsial <math>S </math> pada <math>P</math> bisa gagal jika <math>S </math> tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan dari batas bawah tidak berisi sebuah anggota terbesar. Namun, jika sebuah infimum atau supremum ada, maka itu tunggal.
Karena itu, himpunan terurut parsial yang infima tertentu dikenal sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah [[Kekisi (tatanan)|kekisi]] adalah sebuah himpunan terurut parsial yang semua himpunan ''tak kosong terhingga'' memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum, dan sebuah [[kekisi sempurna]] adalah sebuah himpunan terurut parsial yang ''semua'' himpunan bagian memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum. Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan terurut parsial yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada [[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat-sifat kelengkapan]].
Baris 51:
''Sifat batas paling atas'' adalah sebuah contoh dari sifat-[[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat kelengkapan]] tersebut di atas yang khas untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut ''kelengkapan Dedekind''.
Jika sebuah himpunan berurutan <math>S</math> memiliki sifatnya bahwa setiap himpunan bagian tak kosong <math>S</math> memiliki sebuah batas atas juga memiliki sebuah batas paling atas, maka <math>S</math> dikatakan memiliki sifat batas paling atas. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan <math>\R</math> dari semua bilangan real memiliki sifat batas paling atas. Demikian pula, himpunan <math>\Z </math> dari bilangan bulat memiliki sifat batas paling atas, jika <math>S </math> adalah sebuah himpunan bagian tak kosong <math>\Z </math> dan ada beberapa bilangan <math>n</math> sehingga setiap anggota <math>s </math> pada <math>S </math> kurang dari atau sama dengan <math>n</math>, maka terdapat sebuah batas paling atas <math>u </math> untuk <math>S </math>, sebuah bilangan bulat bahwa sebuah batas atas untuk <math>S </math> dan kurang dari atau sama dengan untuk setiap batas atas lainnya untuk <math>S </math>. Sebuah himpunan [[urutan rapi]] juga memiliki sifat batas paling atas, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki sebuah batas paling atasː minimum dari seluruh himpunan.
Sebuah contoh untuk sebuah himpunan dari sifat batas paling atas adalah <math>\Q </math>, himpunan bilangan rasional. Misalkan <math>S </math> menjadi himpunan dari semua bilangan rasional <math>q</math>, sehingga <math>q^2 < 2</math>. Maka <math>S </math> memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, 6) tetapi tidak ada batas atas dalam <math>\Q </math>. Jika kita mengandaikan <math>p \in \Q</math> adalah batas paling atas, sebuah kontradiksi segera disimpulkan karena antara dua bilangan real <math>x </math> dan <math>y </math> (termasuk <math>\sqrt{2}</math> (lihat [[akar kuadrat dari 2]]) dan <math>p</math>) terdapat beberapa rasional <math>p'</math>, yang sendirinya akan memiliki menjadi batas paling atas (jika <math>p > \sqrt{2}</math>). Contoh lainnya adalah [[hiperreal]], tidak ada batas paling atas dari himpunan infinitesimal positif.
Baris 57:
Terdapat sebuah 'sifat batas bawah terbesar" yang sesuai; sebuah himpunan berurutan memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila itu juga memiliki sifat batas paling atas, batas paling atas dari himpunan batas bawah dari sebuah himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas paling atas dari himpunan.
Jika dalam sebuah himpunan
[[Sifat batas paling atas]] adalah sebuah indikator dari suprema.
Baris 89:
maka infimum dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dalam <math>P </math> sama dengan <math>P^\operatorname{op} </math> dan sebaliknya
Untuk himpunan bagian dari bilangan real, dualitas jenis lain
== Contoh-contoh ==
| |||