|
#ALIH[[Himpunan berurutan sebagian]]
{{short description|Himpunan yang diurutkan berdasarkan relasi biner transitif, antisimetris, dan refleksif}}
{{stack|{{Relasi biner}}}}
[[Gambar:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|thumb|250px|[[Diagram Hasse]] dari [[himpunan daya | himpunan semua himpunan bagian]] dari himpunan tiga elemen {''x'', ''y'', ''z''}, dengan penyertaan. Set berbeda pada tingkat horizontal yang sama tidak dapat dibandingkan satu sama lain. Beberapa pasangan lainnya, seperti {''x''} dan {''y'', ''z''}, juga tak tertandingi.]]
Dalam [[matematika]], terutama [[teori urutan]], '''himpunan berurutan sebagian''' (juga disebut '''poset''') memformalkan dan menggeneralisasi konsep intuitif dari suatu urutan, pengurutan, atau susunan elemen dari sebuah [[Himpunan (matematika) | himpunan]]. Poset terdiri dari himpunan bersama dengan [[relasi biner]] yang menunjukkan itu, untuk pasangan elemen tertentu dalam himpunan, salah satu elemen mendahului elemen lainnya dalam urutan. Relasi itu sendiri disebut "urutan parsial". Kata '' parsial '' pada nama "parsial order" dan "himpunan terurut sebagian" digunakan sebagai indikasi bahwa tidak setiap pasangan elemen perlu disusun. Artinya, mungkin ada pasangan elemen yang tidak ada elemen yang mendahului yang lain dalam poset. Perintah parsial kemudian menggeneralisasi [[urutan total]], di mana setiap pasangan dapat dibandingkan.
Secara formal, urutan parsial adalah setiap relasi biner yang [[Relasi refleksif | refleksif]] (setiap elemen sebanding dengan dirinya sendiri), [[Relasi antisimetrik | antisimetrik]] (tidak ada dua elemen berbeda yang mendahului satu sama lain), dan [[relasi transitif | transitif]] (awal dari rantai relasi prioritas harus mendahului akhir dari kaidah).
Satu contoh familiar dari himpunan yang tersusun sebagian adalah kumpulan orang yang diurutkan berdasarkan [[genealogis | silsilah]] keturunan. Beberapa pasang orang memiliki relasi keturunan-leluhur, tetapi pasangan orang lainnya tidak ada bandingannya, karena tidak ada yang menjadi keturunan dari yang lain.
Sebuah poset dapat divisualisasikan melalui [[diagram Hasse]], yang menggambarkan relasi urutan.<ref>{{cite book |last1=Merrifield |first1=Richard E. |last2=Simmons |first2=Howard E. |author-link2=Howard Ensign Simmons, Jr. |title=Topological Methods in Chemistry |year=1989 |publisher=John Wiley & Sons |location=New York |isbn=0-471-83817-9 |url=https://archive.org/details/topologicalmetho00merr/page/28 |access-date=27 July 2012 |pages=[https://archive.org/details/topologicalmetho00merr/page/28 28] |quote=A partially ordered set is conveniently represented by a ''Hasse diagram''... |url-access=registration }}</ref>
== Definisi formal ==
(non-ketat) '''urutan parsial'''<ref>{{cite book|chapter=Partially Ordered Sets|title=Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics|publisher=Springer|year=2008|isbn=9781848002012|chapter-url=https://books.google.com/books?id=6i-F3ZNcub4C&pg=PA127|author1=Simovici, Dan A. |author2=Djeraba, Chabane |name-list-style=amp }}</ref> adalah [[relasi biner | relasi biner homogen]] ≤ di atas [[Himpunan (matematika) | himpunan]] '' P '' yang memenuhi aksioma tertentu yang akan dibahas di bawah ini. Ketika '' a '' ≤ '' b '', kita mengatakan bahwa '' a '' adalah '''terkait dengan''' '' b ''. (Ini tidak berarti bahwa '' b '' juga terkait dengan '' a '', karena relasinya tidak perlu [[relasi simetris | simetris]].)
Aksioma untuk tatanan parsial non-ketat menyatakan bahwa relasi ≤ adalah [[relasi refleksif | refleksif]], [[relasi antisimetri | antisimetrik]], dan [[relasi transitif | transitif]]. Artinya, untuk semua '' a '', '' b '', dan '' c '' dalam '' P '', harus memenuhi:
# ''a'' ≤ ''a'' ([[Relasi refleksif | refleksivitas]]: setiap elemen terkait dengan dirinya sendiri).
# jika ''a'' ≤ ''b'' dan ''b'' ≤ ''a'', kemudian ''a'' = ''b'' ([[Relasi antisimetri | antisimetri]]: dua elemen berbeda tidak dapat dihubungkan di kedua arah).
# jika ''a'' ≤ ''b'' dan ''b'' ≤ ''c'', kemudian ''a'' ≤ ''c'' ([[Relasi transitif | transitivitas]]: jika elemen pertama terkait dengan elemen kedua, dan, pada gilirannya, elemen tersebut terkait dengan elemen ketiga, maka elemen pertama terkait dengan elemen ketiga).
Dengan kata lain, urutan parsial adalah antisimetri [[preorder]].
Himpunan dengan urutan parsial disebut '''himpunan urutan sebagian''' (juga disebut '''poset'''). Istilah '' himpunan terurut '' terkadang juga digunakan, selama jelas dari konteksnya bahwa tidak ada jenis urutan lain yang berarti. Secara khusus, [[Total urutan | himpunan terurut total]] juga bisa disebut sebagai "himpunan terurut", terutama di area di mana struktur ini lebih umum daripada poset.
Untuk '' a '', '' b '', elemen dari himpunan berurutan sebagian '' P '', jika ''a'' ≤ ''b'' atau ''b'' ≤ ''a'', then ''a'' dan '' b '' adalah '''[[Perbandingan | sebanding]]'''. Pada gambar di kanan atas, yaitu {''x''} and {''x'', ''y'', ''z''} sebanding, sementara {''x''} dan {''y''} tidak. Urutan parsial di mana setiap pasangan elemen dapat dibandingkan disebut '''[[himpunan terurut total | urutan total]]''' atau '''urutan linear'''; satu himpunan yang benar-benar tertata juga disebut '''kaidah''' (misalnya, bilangan asli dengan urutan standarnya). Himpunan bagian dari poset di mana tidak ada dua elemen berbeda yang sebanding disebut '''[[antikaidah]]''' (misalnya himpunan [[tunggal (matematika) | tunggal]] {{nowrap|{{''x''}, {''y''}, {''z''}}}} di gambar kanan atas).
== Ekstrema ==
{| style="float:right"
|-
| [[Berkas:Infinite lattice of divisors.svg|thumb|x150px|Bilangan bulat nonnegatif, diurutkan berdasarkan pembagian]]
|}
{| style="float:right"
|-
| [[Berkas:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|thumb|x150px|Gambar di atas dengan elemen terbesar dan terkecil dihilangkan. Dalam poset yang diperkecil ini, baris teratas dari elemen adalah semua elemen '' maksimal '', dan baris paling bawah adalah semua elemen '' minimal '', tetapi tidak ada elemen '' terbesar '' dan tidak ada elemen '' terkecil ''. Himpunan {''x'', ''y''} adalah '' batas atas '' untuk kumpulan elemen {{nowrap|{{''x''}, {''y''}}}}.]]
|}
Ada beberapa pengertian tentang elemen "terbesar" dan "terkecil" dalam sebuah poset '' P '', terutama:
* [[Elemen terbesar]] dan elemen terkecil: Sebuah elemen '' g '' dalam '' P '' adalah elemen terbesar jika untuk setiap elemen '' a '' dalam '' P '', ''a'' ≤ ''g''. Sebuah elemen '' m '' dalam '' P '' adalah elemen terkecil jika untuk setiap elemen '' a '' dalam '' P '', '' a '' ≥ '' m ''. Poset hanya dapat memiliki satu elemen terbesar atau terkecil.
* [[Elemen maksimal]] dan elemen minimal: Elemen '' g '' di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen '' a '' di '' P '' sehingga '' a ''> '' g ''. Demikian pula, elemen '' m '' di '' P '' adalah elemen minimal jika tidak ada elemen '' a '' di P sehingga '' a '' < '' m ''. Jika poset memiliki elemen terbesar, itu harus menjadi elemen maksimal yang unik, tetapi jika tidak, bisa ada lebih dari satu elemen maksimal, dan juga untuk elemen terkecil dan elemen minimal.
* [[Batas atas dan bawah]]: Untuk subset '' A '' dari '' P '', elemen '' x '' dalam '' P '' adalah batas atas dari '' A '' if '' a '' ≤ ''x'', untuk setiap elemen ''a'' pada ''A''. Secara khusus, '' x '' tidak perlu berada di '' A '' untuk menjadi batas atas dari '' A ''. Demikian pula, elemen '' x '' dalam '' P '' adalah batas bawah dari '' A '' jika ''a'' ≥ ''x'', untuk setiap elemen '' a '' di '' A ''. Unsur terbesar dari '' P '' adalah batas atas '' P '', dan unsur terkecil adalah batas bawah '' P ''.
Misalnya, perhatikan [[bilangan bulat positif]], yang diurutkan berdasarkan dapat dibagi: 1 adalah elemen terkecil, karena [[pembagi | membagi]] semua elemen lainnya; di sisi lain poset ini tidak memiliki elemen terbesar (meskipun jika seseorang akan menyertakan 0 dalam poset, yang merupakan kelipatan dari bilangan bulat, itu akan menjadi elemen terbesar; lihat gambar). Kumpulan yang diurutkan sebagian ini bahkan tidak memiliki elemen maksimal, karena ada '' g '' yang terbagi misalnya 2''g'', yang berbeda dari itu, lagu '' tidak maksimal''. Jika angka 1 dikecualikan, sambil menjaga agar dapat dibagi sebagai urutan pada elemen yang lebih besar dari 1, maka poset yang dihasilkan tidak memiliki elemen terkecil, tetapi [[bilangan prima]] adalah elemen minimal untuk itu. Dalam poset ini, 60 adalah batas atas (meskipun bukan batas atas terkecil) dari subset {2, 3, 5, 10}, yang tidak memiliki batas bawah (karena 1 tidak ada di poset); di sisi lain 2 adalah batas bawah dari himpunan bagian dari pangkat 2, yang tidak memiliki batas atas.
== Urutan pada produk Kartesius dari himpunan urutan sebagian ==
{| style="float:right"
|-
|[[Berkas:Strict product order on pairs of natural numbers.svg|thumb|x150px|Penutupan refleksif atas pesanan produk langsung yang ketat pada ℕ × ℕ. Elemen [[#Definisi formal | tertutup]] oleh (3,3) dan penutup (3,3) disorot dalam warna hijau dan merah, masing-masing.]]
|}
{| style="float:right"
|-
|[[Berkas:N-Quadrat, gedreht.svg|thumb|x150px|Pesanan produk pada ℕ × ℕ]]
|}
{| style="float:right"
|-
|[[Berkas:Lexicographic order on pairs of natural numbers.svg|thumb|x150px|Urutan leksikografik pada ℕ×ℕ]]
|}
Untuk meningkatkan kekuatan, yaitu, penurunan set pasangan, tiga dari kemungkinan pesanan parsial pada [[Produk Kartesius]] dari dua set yang dipesan sebagian adalah (lihat gambar):
*[[urutan leksikografis]]: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika ''a'' < ''c'' atau (''a'' = ''c'' dan ''b'' ≤ ''d'');
*[[urutan produk]]: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika ''a'' ≤ ''c'' dan ''b'' ≤ ''d'';
*[[penutupan refleksif]] dari [[Produk langsung#Produk langsung dari relasi biner | produk langsung]] dari pesanan ketat yang sesuai: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika (''a'' < ''c'' dan ''b'' < ''d'') atau (''a'' = ''c'' dan ''b'' = ''d'').
Ketiganya dapat didefinisikan secara serupa untuk produk Kartesius lebih dari dua himpunan.
Diterapkan ke [[ruang vektor terurut]] di atas [[Bidang (matematika) | bidang]] yang sama, hasilnya dalam setiap kasus juga merupakan ruang vektor terurut.
Lihat pula [[Total urutan#Urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total | urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total]].
== Jumlah himpunan yang diurutkan sebagian ==
{{anchor|jumlah}}
[[Berkas:Series-parallel partial order.svg|thumb|upright=1.35|[[Diagram Hasse]] dari [[urutan parsial deret-paralel]], dibentuk sebagai jumlah ordinal dari tiga ordo parsial yang lebih kecil.]]
Cara lain untuk menggabungkan dua poset adalah '''jumlah ordinal'''<ref>{{citation
| last1 = Neggers | first1 = J.
| last2 = Kim | first2 = Hee Sik
| contribution = 4.2 Product Order and Lexicographic Order
| isbn = 9789810235895
| pages = 62–63
| publisher = World Scientific
| title = Basic Posets
| year = 1998}}</ref> (or '''linear sum'''<ref>{{cite book |last1=Davey |first1=B. A. |last2=Priestley |first2=H. A. |title=Introduction to Lattices and Order |edition=Second |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=2002 |isbn=0-521-78451-4 |pages=17–18 |url=https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA17 |via=[[Google Books]] }}</ref>), ''Z'' = ''X'' ⊕ ''Y'', ditentukan pada penyatuan himpunan yang mendasari '' X '' dan '' Y '' berdasarkan urutan ''a'' ≤<sub>''Z''</sub> ''b'' jika dan hanya jika:
* ''a'', ''b'' ∈ ''X'' dengan ''a'' ≤<sub>''X''</sub> ''b'', atau
* ''a'', ''b'' ∈ ''Y'' dengan ''a'' ≤<sub>''Y''</sub> ''b'', atau
* ''a'' ∈ ''X'' dan ''b'' ∈ ''Y''.
Jika dua poset [[well-oldered]], maka jumlah ordinalnya juga.<ref>{{cite book|author=P. R. Halmos|title=Naive Set Theory|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0|url-access=registration|year=1974|publisher=Springer |isbn=978-1-4757-1645-0|page=[https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0/page/82 82]}}</ref>
Operasi penjumlahan ordinal adalah salah satu dari dua operasi yang digunakan untuk membentuk [[urutan parsial deret-paralel]], dan dalam konteks ini disebut komposisi seri. Operasi lain yang digunakan untuk membentuk tatanan ini, penyatuan dua himpunan yang terurut sebagian (tanpa hubungan keteraturan antara unsur satu himpunan dan unsur himpunan lainnya) disebut dalam komposisi paralel konteks ini.
== Pemetaan antara kumpulan yang diurutkan sebagian ==
{| style="float:right"
|-
|[[Berkas:Birkhoff120.svg|thumb|x150px|Isomorfisme urutan antara pembagi 120 (sebagian diurutkan berdasarkan pembagian) dan himpunan bagian tertutup pembagi dari {{nowrap|{2, 3, 4, 5, 8}}} (diurutkan sebagian oleh penyertaan himpunan)]]
|}
{| style="float:right"
|-
|[[Berkas:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|thumb|x150px|Memelihara pesanan, tetapi tidak mencerminkan pesanan (karena ''f''(''u'') ≤ ''f''(''v''), tapi tidak ''u'' ≤ ''v'') peta.]]
|}
Diberikan dua set yang dipesan sebagian (''S'', ≤) dan (''T'', ≤), sebuah fungsi ''f'': ''S'' → ''T'' disebut '''[[pengawetan urutan]]''', atau '''[[Fungsi monotonik#Monotonisitas dalam teori urutan | monoton]]''', atau '''isoton''', jika untuk '' x '' dan '' y '' pada '' S '', ''x'' ≤ ''y'' menyiratkan ''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'').
Jika (''U'', ≤) juga merupakan himpunan yang dipesan sebagian, dan keduanya ''f'': ''S'' → ''T'' dan ''g'': ''T'' → ''U'' menjaga keteraturan, [[komposisi fungsi | komposisi]] mereka ''g''∘''f'' : ''S'' → ''U'' juga menjaga ketertiban.
Sebuah fungsi ''f'': ''S'' → ''T'' disebut '''urutan refleksi''' jika untuk '' x '' dan '' y '' pada '' S '', ''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'') menyiratkan ''x'' ≤ ''y''.
Jika '' f '' baik untuk menjaga ketertiban maupun mencerminkan ketertiban, maka ini disebut '''[[urutan embedding]]''' dari (''S'', ≤) menjadi (''T'', ≤).
Dalam kasus terakhir, '' f '' harus [[injektif]], karena ''f''(''x'') = ''f''(''y'') menyiratkan ''x'' ≤ ''y'' dan ''y'' ≤ ''x''. Jika ada order-embedding antara dua posets '' S '' dan '' T '', seseorang mengatakan bahwa '' S '' dapat menjadi '''embed''' ke dalam '' T ''. Jika urutan-embedding ''f'': ''S'' → ''T'' adalah [[bijective]], ini disebut '' '[[order isomorphism]]' '', dan order parsial ('' S '', ≤) dan ('' T '', ≤) dikatakan menjadi '''isomorfik'''. Ordo isomorfik memiliki struktur serupa [[diagram Hasse]] (lih. Gambar kanan). Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan ''f'': ''S'' → ''T'' dan ''g'': ''T'' → ''S'' dirumuskan ''g''∘''f'' dan ''f''∘''g'' menghasilkan [[fungsi identitas]] pada '' S '' dan '' T '', lalu '' S '' dan '' T '' adalah urutan-isomorfik.
<ref name="dp02">{{Cite book
| last1 = Davey | first1 = B. A.
| last2 = Priestley | first2 = H. A.
| contribution = Maps between ordered sets
| edition = 2nd
| isbn = 0-521-78451-4
| location = New York
| mr = 1902334
| pages = 23–24
| publisher = Cambridge University Press
| title = Introduction to Lattices and Order
| chapter-url = https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA23
| year = 2002
}}.</ref>
Misalnya, pemetaan ''f'': ℕ → ℙ(ℕ) dari himpunan bilangan asli (diurutkan berdasarkan pembagian) ke [[himpunan daya]] dari bilangan asli (diurutkan berdasarkan set inklusi) dapat ditentukan dengan mengambil setiap bilangan ke himpunan [[pembagi utama]]. Ini menjaga keteraturan: jika '' x '' membagi '' y '', maka setiap pembagi utama dari '' x '' juga merupakan pembagi utama dari '' y ''. Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6). Mengambil alih-alih setiap bilangan ke himpunan [[pangkat utama]] -nya mendefinisikan peta ''g'': ℕ → ℙ(ℕ) yaitu memelihara ketertiban, mencerminkan ketertiban, dan karenanya merupakan penyematan pesanan. Ini bukan isomorfisme urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan [[Fungsi injektif#Injektif dapat dibuat tidak dapat diubah | batasi codomain]] menjadi ''g''(ℕ). Gambar kanan menunjukkan subset dari ℕ dan gambar isomorfiknya di bawah '' g ''. Konstruksi isomorfisme-tatanan semacam itu ke dalam himpunan daya dapat digeneralisasikan ke kelas luas tatanan parsial, disebut [[kisi distributif]], lihat "[[Teorema representasi Birkhoff]]".
== Jumlah urutan parsial ==
Urutan [{{fullurl:OEIS:A001035}} A001035] di [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences | OEIS]] memberikan jumlah pesanan parsial pada satu set elemen berlabel '' n '':
{{Bilangan relasi}}
Jumlah urutan parsial ketat sama dengan jumlah pesanan parsial.
Jika hitungan dilakukan hanya [[hingga]] isomorfisme, urutan 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… {{OEIS|A000112}} diperoleh.
== Ekstensi linear ==
Urutan parsial ≤<sup>*</sup> pada himpunan '' X '' adalah '''ekstensi''' dari urutan parsial lain ≤ on '' X '' asalkan untuk semua elemen '' x '' dan '' y '' dari '' X '' , setiap kali '' x '' ≤ '' y '', hal itu juga terjadi ''x'' ≤<sup>*</sup> ''y''. A [[ekstensi linier]] adalah ekstensi yang juga merupakan tatanan linear (yaitu total). Setiap pesanan parsial dapat diperpanjang menjadi pesanan total ([[prinsip perpanjangan urutan]]).<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |title=The Axiom of Choice |year=2008 |orig-year=1973 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>
Dalam [[ilmu komputer]], Algoritma untuk menemukan ekstensi linier dari urutan parsial (direpresentasikan sebagai [[jangkauan]] urutan [[grafik asiklik terarah]]) disebut [[penyortiran topologis]].
== Dalam teori kategori ==
Setiap poset (dan setiap [[Preorder | set praorder]]) dapat dianggap sebagai [[kategori (matematika) | kategori]] di mana, untuk objek '' x '' dan '' y '', paling banyak ada satu [[morfisme]] dari '' x '' hingga '' y ''. Lebih eksplisit lagi, maka hom(''x'', ''y'') = {(''x'', ''y'')} if ''x'' ≤ ''y'' (dan sebalik himpunan kosong) dan (''y'', ''z'')∘(''x'', ''y'') = (''x'', ''z''). Kategori seperti itu kadang disebut '' [[Kategori posetal | posetal]] ''.
Poset adalah [[Kesetaraan kategori | ekuivalen]] satu sama lain jika dan hanya jika poset tersebut [[Isomorfisme kategori | isomorfik]]. Dalam poset, elemen terkecil, jika ada, adalah [[objek awal]], dan elemen terbesar, jika ada, adalah [[objek terminal]]. Selain itu, setiap set yang dipesan sebelumnya setara dengan poset. Akhirnya, setiap subkategori poset adalah [[isomorfisme tertutup]].
== Urutan parsial dalam ruang topologi ==
{{Main|Ruang urutan sebagian}}
Jika '' P '' adalah himpunan berurutan sebagian yang juga telah diberi struktur [[ruang topologi]], maka biasanya diasumsikan bahwa <math> \{ (a,b) : a \le b \} </math> adalah subset [[tertutup (matematika) | tertutup]] dari topologi [[ruang produk]] <math>P \times P</math>. Di bawah asumsi ini, hubungan urutan parsial berperilaku baik pada [[Limit urutan | batas]] dalam arti jika <math>a_i \to a</math>, dan <math>b_i \to b</math>, dan untuk <math> i </math>   <math> a_i \le b_i </math>, kemudian <math> a \le b </math>.<ref name="ward-1954">{{Cite journal|first=L. E. Jr|last=Ward|title=Partially Ordered Topological Spaces|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=5 |year=1954|pages= 144–161|issue= 1|doi=10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5|hdl=10338.dmlcz/101379|doi-access=free}}</ref>
== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=22em}}
* [[Antimatroid]], formalisasi urutan pada satu set yang memungkinkan kelompok urutan yang lebih umum daripada poset
* [[Himpunan kausal]], pendekatan berbasis poset untuk gravitasi kuantum
* [[Grafik komparabilitas]]
* [[Urutan kompleks]]
* [[Himpunan terarah]]
* [[Poset dinilai]]
* [[Aljabar insiden]]
* [[Kisi (urutan) | kisi]]
* [[Poset hingga secara lokal]]
* [[Aljabar insidensi | Fungsi Mbius pada posets]]
* [[Himpunan nested#Definisi formal | Himpunan nested]]
* [[Politico urutan]]
* [[Grup urutan]]
* [[Topologi poset]], sejenis ruang topologi yang dapat didefinisikan dari poset manapun
* [[Kontinuitas Scott]] - kontinuitas fungsi antara dua orde parsial.
* [[Semikisi]]
* [[Semiorder]]
* [[Dominasi stokastik]]
* [[Pengurutan lemah]] – urutan parsial ketat "<" di mana relasi {{nowrap|"neither ''a'' < ''b''}} {{nowrap|nor ''b'' < ''a''"}} bersifat transitif.
* [[Total urutan]]
* [[Pohon (struktur data) #Using set inclusion | Pohon]] (struktur data set inclusion)
* [[Lemma Zorn]]
{{div col end}}
== Catatan ==
{{reflist}}
== Referensi ==
* {{Cite journal|first=Jayant V. |last=Deshpande|title= On Continuity of a Partial Order|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|volume= 19|year= 1968|pages= 383–386|issue= 2|doi=10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7|doi-access= free}}
* {{cite book|first=Gunther|last=Schmidt|author-link=Gunther Schmidt|year= 2010|title=Relational Mathematics|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|volume= 132|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-76268-7}}
* {{cite book|author=Bernd Schröder|title=Ordered Sets: An Introduction with Connections from Combinatorics to Topology|url=https://books.google.com/books?id=66oqDAAAQBAJ&q=%22Partially+ordered+set%22+OR+poset|date=11 May 2016|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-29788-0}}
* {{cite book|first=Richard P.|last=Stanley|author-link=Richard P. Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2|year=1997}}
== Pranala luar ==
{{Commons|Hasse diagram}}
* {{OEIS el|1=A001035|2= Number of posets with ''n'' labeled elements|formalname=Number of partially ordered sets ("posets") with n labeled elements (or labeled acyclic transitive digraphs)}}
* {{OEIS el|1=A000112|2=Number of partially ordered sets ("posets") with n unlabeled elements.}}
[[Kategori: Teori order]]
[[Kategori: Relasi biner]]
<!--[[de:Ordnungsrelation#Halbordnung]]-->
| 