Kategori konkret: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''kategori konkret''' adalah [[kategori (teori kategori) | kategori]] yang dilengkapi dengan [[fungsi setia]] ke [[kategori himpunan]] (atau terkadang ke kategori lain, ''lihat [[#Konkretan relatif | Konkretitas relatif]] di bawah''). Funktor ini memungkinkan untuk memikirkan objek dari kategori sebagai himpunan dengan tambahan [[struktur matematika | struktur]], dan [[morfisme]] sebagai fungsi pemelihara struktur. Banyak kategori penting memiliki interpretasi yang jelas sebagai kategori konkret, misalnya [[kategori ruang topologi]] dan [[kategori grup]], dan juga kategori himpunan itu sendiri. Di sisi lain, [[kategori homotopi ruang topologi]] tidak '''dapat dikonkretkan''', yaitu tidak menerima fungsi yang setia ke kategori himpunan.

Kategori konkret, ketika didefinisikan tanpa mengacu pada pengertian kategori, terdiri dari [[kelas (teori himpunan) | kelas]] dari '' objek '', masing-masing dilengkapi dengan '' set yang mendasari ''; dan untuk dua objek '' A '' dan '' B '' satu himpunan fungsi, yang disebut '' morfisme '', dari kumpulan '' A '' ke kumpulan '' B '' yang mendasari. Selanjutnya, untuk setiap objek '' A '', fungsi identitas pada himpunan yang mendasari '' A '' harus berupa morfisme dari '' A '' menjadi '' A '', dan komposisi morfisme dari '' A '' ke '' B '' diikuti morfisme dari '' B '' menjadi '' C '' harus berupa morfisme dari '' A '' ke '' C ''.<ref>{{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | last2=Birkhoff | first2=Garrett | author2-link=Garrett Birkhoff | title=Algebra | publisher=AMS Chelsea | edition=3rd | isbn=978-0-8218-1646-2 | year=1999}}</ref>

yaitu, jika ada fungsi setia ''U'' : ''C'' → '''Himpunan'''. Semua kategori kecil dapat dikonkretkan: definisikan '' U '' sehingga bagian objeknya memetakan objek '' b '' dari '' C '' ke himpunan semua morfisme '' C '' yang [[kodomain]] adalah '' b '' (yaitu semua morfisme bentuk ''f'': ''a'' → ''b'' objek'' a '' dari '' C ''), dan bagian morfismenya memetakan setiap morfisme ''g'': ''b'' → ''c'' dari '' C '' ke fungsi ''U''(''g''): ''U''(''b'') → ''U''(''c'') anggota ''f'': ''a'' → ''b'' of ''U''(''b'') untuk komposisi ''gf'': ''a'' → ''c'', anggota dari ''U''(''c''). (Item 6 di bawah [[#Sebuah contoh lebih lanjut | contoh lebih lanjut]] mengungkapkan '' U '' yang sama dalam bahasa yang kurang dasar melalui pra-daun.) Bagian [[#Contoh kontra | contoh kontra]] menampilkan dua kategori besar yang tidak dapat dikonkretkan.

Penting untuk dicatat bahwa, bertentangan dengan intuisi, konkret bukanlah [[sifat (filosofi) | sifat]] suatu kategori atau tidak, melainkan sebuah struktur di mana suatu kategori dapat dilengkapi atau tidak. Secara khusus, kategori '' C '' fungsi menjadi '''Himpunan'''. Oleh karena itu, mungkin ada beberapa kategori konkret ('' C '', '' U '') yang semuanya sesuai dengan kategori '' C ''.

# Setiap grup '' G '' dapat dianggap sebagai kategori "abstrak" dengan satu objek arbitrer, <math>\ast</math>, dan satu morfisme untuk setiap elemen grup. Konkret menurut pengertian intuitif yang dijelaskan di bagian atas artikel ini. Tapi setiap setia [[Grup aksi (matematika) | himpunan-''G'']] (setara, setiap representasi '' G '' sebagai [[grup permutasi | grup permutasi]]) menentukan fungsi ''G'' → '''Himpunan'''. Karena setiap grup aksi dengan setia pada dirinya sendiri, '' G '' dapat dibuat menjadi kategori konkret setidaknya dalam satu cara.

# Kategori '''[[Kategori relasi|Rel]]''' yang objeknya [[Himpunan (matematika) | himpunan]] dan yang morfismenya [[Relasi (matematika) | relasi]] dapat dibuat konkret dengan mengambil '' U '' untuk memetakan setiap himpunan '' X '' ke pangkat himpunan <math>2^X</math> dan setiap relasi <math>R \subseteq X \times Y</math> ke fungsi <math>\rho: 2^X \rightarrow 2^Y</math> defined by <math>\rho(A)=\{y \in Y \mid \exists \, x \in A : xRy\}</math>. Memperhatikan bahwa himpunan daya sedang [[kisi kompleks]] sedang disertakan, fungsi-fungsi di antara mereka yang muncul dari beberapa relasi '' R '' dengan cara ini persis dengan [[Kisi kompleks#Morfisme kisi kompleks | peta kompleks supremum]]. Karenanya '''Rel''' setara dengan subkategori kompleks kategori '''Sup''' dari [[kisi lengkap]] dan peta pelestariannya. Sebaliknya, mulai dari persamaan ini kita dapat memulihkan '' U '' sebagai komposit '''Rel''' → '''Sup''' → '''Himpunan''' dari funktor pelupa untuk '''Sup''' dengan embedding dari '''Rel''' di '''Sup'''.

# Kategori '''Himpunan'''^op ke '''Rel''' dengan merepresentasikan setiap set sebagai dirinya sendiri dan setiap fungsi ''f'': ''X'' → ''Y'' sebagai relasi dari '' Y '' ke '' X '' dibentuk sebagai himpunan pasangan (''f''(''x''), ''x'') untuk ''x'' ∈ ''X''; hence '''Himpunan'''^op dapat dikonkretkan. Functor pelupa yang muncul dengan cara ini adalah [[Funktor#Contoh | contravariant powerset functor]] '''Himpunan'''^op → '''Himpunan'''.

# Untuk alasan teknis, kategori '''Ban'''₁ dari [[ruang Banach]] dan [[kontraksi (teori operator) | kontraksi linear]] sering kali tidak dilengkapi dengan fungsi pelupa yang "jelas" tetapi fungsi ''U''₁ : '''Ban'''₁ → '''Himpunan''' yang memetakan ruang Banach ke [[bola unit]] (tertutup).

Kelas dari semua predikat ari dan operasi ari dari kategori konkret (''C'',''U''), dengan '' N '' berkisar di kelas dari semua bilangan pokok, membentuk [[kelas kompleks | besar]] [[tanda tangan (logika) | tanda tangan]]. Kategori model untuk tanda tangan ini kemudian berisi subkategori lengkap yaitu [[persamaan kategori | ekuivalen]] ke '' C ''.

[[Kategori: Teori kategori]]