Gelanggang (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 94:
:* gelanggang dengan identitas perkalian: ''unital ring'', ''unitary ring'', ''unit ring'', ''ring with unity'', ''ring with identity'', atau ''ring with 1''
:* gelanggang tanpa identitas perkalian: ''rng'' atau ''pseudo-ring'',<ref>Bourbaki, p. 98.</ref> tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.
== Modul ==
{{main|Modul (matematika)}}
Konsep ''modul di atas gelanggang'' menggeneralisasi konsep [[ruang vektor]] (di atas [[bidang (matematika)|bidang]]) dengan menggeneralisasi dari perkalian vektor dengan elemen bidang ([[perkalian skalar]]) ke perkalian dengan elemen gelanggang. Lebih tepatnya, diberi gelanggang {{math|''R''}} dengan 1, sebuah modul-{{math|''R''}} dengan {{math|''M''}} adalah [[grup abelian]] dilengkapi dengan [[operasi (matematika)|operasi]] {{math|''R'' × ''M'' → ''M''}} (mengaitkan elemen {{math|''M''}} ke elemen {{math|''R''}} dan elemen {{math|''M''}}) yang memenuhi [[Aksioma#Aksioma non-logis|aksioma]] tertentu. Operasi ini biasanya dilambangkan dengan perkalian dan disebut perkalian. Aksioma modul adalah sebagai berikut: untuk {{math|''a'', ''b''}} dalam {{math|''R''}} dan {{math|''x'', ''y''}} dalam {{math|''M''}}, maka:
* {{math|''M''}} adalah grup abelian di bawah tambahan.
* <math>a(x+y)=ax+ay</math>
* <math>(a+b)x=ax+bx</math>
* <math>1x=x</math>
* <math>(ab)x=a(bx)</math>
Ketika gelanggang adalah [[gelanggang nonkomutatif|nonkomutatif]] aksioma-aksioma ini mendefinisikan ''modul kiri''; ''modul kompleks'' didefinisikan serupa dengan {{math|''xa''}} dari {{math|''ax''}}. Hal ini bukan hanya perubahan notasi, sebagai aksioma terakhir dari modul kanan (yaitu {{math|1=''x''(''ab'') = (''xa'')''b''}}) menjadi {{math|1=(''ab'')''x'' = ''b''(''ax'')}}, jika perkalian kiri (dengan elemen gelanggang) digunakan untuk modul kanan.
Contoh dasar modul adalah ideal, termasuk cincin itu sendiri.
Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal ([[dimensi (ruang vektor)|dimensi ruang vektor]]). Secara khusus, tidak semua modul memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]].
Aksioma modul menyiratkan bahwa {{math|1=(−1)''x'' = −''x''}}, di mana minus pertama menunjukkan [[aditif invers]] di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan bilangan bulat positif memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.
== Lihat pula ==
| |||