Revisi per 22 Januari 2021 01.32 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Membalikkan revisi 17843087 oleh 36.72.213.14 (bicara) Tag: Pembatalan Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan ← Revisi sebelumnya		Revisi per 3 Februari 2021 07.03 sunting balikkan HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.172.010 suntingan k clean up Revisi selanjutnya →
Baris 4: {{Ring theory sidebar}} Dalam [[matematika]], '''aljabar Lie''' (pengucapan {{IPAc-en\|l\|iː}} "Lee") adalah [[ruang vektor]] <math>\mathfrak g</math> bersama dengan [[Operasi biner \| operasi]] yang disebut '''braket Lie''', sebuah [[Peta multilinear alternatif\|peta bilinear bergantian]] <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g, \ (x, y) \mapsto [x, y]</math> adalah bagian dari [[identitas Jacobi]].{{efn\|Tanda kurung {{math \| [,]}} mewakili operasi bilinear "×"; seringkali, ini adalah [[komutator]]: {{math\|[''x'',''y''] {{=}} ''x'' ''y'' − ''y'' ''x''}}, untuk produk asosiatif pada ruang vektor yang sama. Tapi belum tentu!}} Ruang vektor <math>\mathfrak g</math> bersama dengan operasi ini adalah [[aljabar non-asosiatif]], yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu [[sifat asosiatif\|asosiatif]]. Aljabar Lie berkaitan erat dengan [[grup Lie]], yaitu [[grup (matematika)\|grup]] yang juga [[lipatan halus]]: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sesuai [[ruang penghubung\|terhubung]] dengan grup Lie hingga penutup ([[Teorema ketiga Lie]]). [[Grup Lie–korespondensi aljabar\|Korespondensi]] ini memungkinkan seseorang untuk mempelajari struktur dan [[Daftar grup Lie sederhana\|klasifikasi]] grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie. Baris 19: == Definisi == === Definisi aljabar Lie === Aljabar Lie adalah [[ruang vektor]] <math>\,\mathfrak{g}</math> di beberapa [[bidang (matematika) \| bidang]] {{mvar \| F}} dengan [[operasi biner]] <math>[\,\cdot\,,\cdot\,]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math> disebut braket Lie memenuhi aksioma berikut:{{efn\|{{harvtxt\|Bourbaki\|1989\|loc=Section 2.}} memungkinkan lebih umum untuk [[Modul (matematika)\|modul]] melalui [[Gelanggang komutatif]]; dalam artikel ini, ini disebut [[#Gelanggang Lie \| Gelanggang Lie]].}} * [[Operasi Bilinear \| Bilinearitas]], ::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math> ::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math> Baris 37: * [[Antikomutatif]], :: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math> :untuk semua elemen '' x '', '' y '' dalam <math>\mathfrak{g}</math>. Jika [[Karakteristik (aljabar) \| karakteristik]] bidang bukan 2 maka antikomutatifitas menyiratkan alternatif.<ref>{{harvnb\|Humphreys\|1978\|p=1}}</ref> Merupakan kebiasaan untuk menunjukkan aljabar Lie dengan huruf [[fraktur]] huruf kecil seperti <math>\mathfrak{g, h, b, n}</math>. Jika aljabar Lie dikaitkan dengan [[grup Lie]], maka aljabar tersebut dilambangkan dengan versi fraktur grup: misalnya aljabar Lie [[grup satuan khusus\|SU(''n'')]] adalah <math>\mathfrak{su}(n)</math>. === Generator dan dimensi === Elemen aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan [[Generator (matematika) \| menghasilkan]] jika subaljabar terkecil yang berisi elemen-elemen ini adalah <math>\mathfrak{g}</math>. '' Dimensi '' dari aljabar Lie adalah dimensinya sebagai ruang vektor di atas '' F ''. Kardinalitas himpunan pembangkit minimal dari aljabar Lie selalu kurang dari atau sama dengan dimensinya. Lihat [[klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah]] untuk contoh kecil lainnya. === Subaljabar, ideal dan homomorfisme === Braket Lie tidak harus [[asosiatif]], artinya <math>[[x,y],z]</math> tidak harus menggunakan <math>[x,[y,z]]</math>. Namun, ini [[aljabar fleksibel \| fleksibel]]. Meskipun demikian, banyak terminologi asosiatif [[gelanggang (matematika) \| gelanggang]] dan [[aljabar asosiatif \| aljabar]] biasanya diterapkan pada aljabar Lie. ''Lie subaljabar'' adalah subruang <math>\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}</math> yang ditutup di bawah braket Lie. Sebuah '' ideal '' <math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak{g}</math> adalah subaljabar yang memenuhi kondisi yang lebih kuat:<ref>Karena antikomutatifitas dari komutator, gagasan tentang ideal kiri dan kanan dalam aljabar Lie bertepatan.</ref> :<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math> Baris 56: x,y \in \mathfrak g. </math> Adapun cincin asosiatif, cita-cita tepatnya adalah [[kernel (aljabar) \| kernel]] homomorfisme; menggunakan aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dan ideal <math>\mathfrak i</math> di dalamnya, seseorang membangun '' aljabar faktor '' atau '' aljabar hasil bagi '' <math>\mathfrak{g}/\mathfrak i</math>, dan [[teorema isomorfisme pertama]] berlaku untuk Lie aljabar. Karena barket Lie adalah sejenis [[komutator]] yang sangat kecil dari grup Lie yang sesuai, kita katakan bahwa dua elemen <math>x,y\in\mathfrak g</math> '' merubah '' jika braket : <math>[x,y]=0</math>. Subaljabar [[pemusat]] dari himpunan bagian <math>S\subset \mathfrak{g}</math> adalah himpunan elemen yang bepergian dengan '' S '': yaitu, <math>\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x, s] = 0 \ \text{ untuk } s\in S\}</math>. Pemusat dari <math>\mathfrak{g}</math> adalah '' pusat '' <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math>. Demikian pula, untuk subruang '' S '', subaljabar [[penormal]] dari '' S '' adalah <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g\ \mid\ [x,s]\in S \ \text{ untuk}\ s\in S\}</math>.<ref>{{harvnb\|Jacobson\|1962\|p=28}}</ref> Sama halnya, jika '' S '' adalah subaljabar Lie, <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math> adalah subaljabar terbesar sehingga <math> S </math> adalah ideal dari <math>\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)</math>. Baris 88: === Jumlah langsung dan produk setengah langsung === Untuk dua Aljabar Lie <math>\mathfrak{g^{}}</math> dan <math>\mathfrak{g'}</math>, [[Jumlah langsung modul \| jumlah langsung]] Aljabar Lie adalah ruang vektor <math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>terdiri dari semua pasangan <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, dengan operasi tersebut :<math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math> sehingga salinan <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math>: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> Maka <math>\mathfrak{g}</math> menjadi aljabar Lie dan <math>\mathfrak{i}</math> ideal dari <math>\mathfrak{g}</math>. Jika peta kanonik <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> (yaitu, menerima bagian), maka <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan sebagai [[produk setengah langsung]] dari <math>\mathfrak{i}</math> dan <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. Lihat pula [[ekstensi aljabar Lie#Dengan jumlah setengah langsung \| jumlah setengah langsung dari aljabar Lie]]. [[Teorema Levi]] mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya ([[Levi subaljabar]]). === Turunan === [[Turunan (aljabar abstrak) \| '' Turunan '']] pada aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> (atau pada [[aljabar non-asosiatif]]) adalah [[peta linear]] <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> yang mematuhi [[aturan umum Leibniz \| hukum Leibniz]], yaitu, :<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math> untuk <math>x,y\in\mathfrak g</math>. '' Turunan batin '' yang terkait dengan <math>x\in\mathfrak g</math> adalah pemetaan adjoin <math>\mathrm{ad}_x</math> didefinisikan oleh <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) '''Turunan luar''' adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika <math>\mathfrak{g}</math> adalah [[aljabar Lie setengah sederhana \| setengah sederhana]], setiap turunan adalah dalam. Turunan membentuk ruang vektor <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, yang merupakan subaljabar Lie dari <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>. Baris 139: === Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator === * Pada [[aljabar asosiatif]] <math> A </math> di atas bidang <math> F </math> dengan perkalian <math>(x, y) \mapsto xy</math>, braket Lie dapat ditentukan oleh [[Teori komutator#Gelanggang \| komutator]] <math>[x,y] = xy - yx</math>. Dengan tanda kurung ini, <math> A </math> adalah aljabar Lie.<ref>{{harvnb\|Bourbaki\|1989\|loc=§1.2. Example 1.}}</ref> Aljabar asosiatif '' A '' disebut '' aljabar pembungkus '' dari aljabar Lie <math>(A, [\,\cdot\, , \cdot \,])</math>. Setiap aljabar Lie dapat dimasukkan ke dalam aljabar yang muncul dari aljabar asosiatif dengan cara ini; lihat [[aljabar pembungkus universal]]. * Aljabar asosiatif [[endomorfisma]] dari ruang-'' F '' vektor <math> V </math> dengan braket Lie di atas dilambangkan <math>\mathfrak{gl}(V)</math>. * Untuk ruang vektor berdimensi hingga <math>V = F^n</math>, contoh sebelumnya menjadi aljabar Lie dari matriks '' n '' × '' n '', dinotasikan <math>\mathfrak{gl}(n, F)</math> atau <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>,<ref>{{harvnb\|Bourbaki\|1989\|loc=§1.2. Contoh 2.}}</ref> dengan braket <math>[X,Y]=X\cdot Y-Y\cdot X</math>, dimana <math>\cdot</math> menunjukkan perkalian matriks. Ini adalah aljabar Lie dari [[kelompok linier umum]], yang terdiri dari matriks-matriks yang dapat dibalik. Baris 146: Dua subaljabar penting dari <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math> adalah: * Matriks [[Jejak (aljabar linear) \| jejak]] nol membentuk [[aljabar Lie linier khusus]] <math>\mathfrak{sl}_n(F)</math>, aljabar Lie dari [[grup linear khusus]] <math>\mathrm{SL}_n(F)</math>.<ref>{{harvnb\|Humphreys\|1978\|p=2}}</ref> * Matriks [[skew-hermitian]] membentuk aljabar Lie kesatuan <math>\mathfrak u(n)</math>, aljabar Lie dari [[satuan grup]] ''U''(''n''). === Aljabar matriks Lie === Kompleks [[Grup linear \| grup matriks]] adalah grup Lie yang terdiri dari matriks, <math>G\subset M_n(\mathbb{C})</math>, dimana perkalian '' G '' adalah perkalian matriks. Aljabar Lie <math>\mathfrak g</math> adalah ruang matriks yang merupakan vektor bersinggungan dengan '' G '' di dalam ruang linear <math>M_n(\mathbb{C})</math>: ini terdiri dari turunan kurva halus di '' G '' di identitas: {{quote box\|<math>\mathfrak{g} = \{ X = c'(0) \in M_n(\mathbb{C}) \ \mid\ \text{ smooth } c : \mathbb{R}\to G, \ c(0) = I \}.</math>}}Braket Lie dari <math>\mathfrak{g}</math> adalah komutator matriks, <math>[X,Y]=XY-YX</math>. Dengan adanya aljabar Lie, seseorang dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan [[matriks eksponensial]] <math>\exp: M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})</math> didefinisikan oleh <math>\exp(X) = I + X + \tfrac{1}{2!}X^2+\cdots</math>, yang menyatu untuk setiap matriks <math> X </math>: yaitu, <math>G=\exp(\mathfrak g)</math>.<ref>{{harvnb\|Hall\|2015\|loc=§3.4}}</ref> == Relasi grup Lie == Baris 171: == Gelanggang Lie == '' Gelanggang Lie '' muncul sebagai generalisasi dari aljabar Lie, atau melalui studi [[deret tengah bawah]] [[Grup (matematika) \| grup]]. Gelanggang Lie didefinisikan sebagai [[gelanggang non-asosiatif]] dengan perkalian yaitu [[antikomutatif]] dan memenuhi [[identitas Jacobi]]. Lebih spesifiknya kita bisa mendefinisikan gelanggang Lie <math> L </math> menjadi [[grup abelian]] dengan operasi <math>[\cdot,\cdot]</math> yang memiliki properti berikut: * Bilinearitas: Baris 212: * [[Aljabar pra-Lie]] * [[Grup kuantum]] * [[Braket loyal \| Braket Aljabar]] * [[Aljabar Lie semu-Frobenius]] * [[Aljabar semu-Lie]] Baris 266: {{DEFAULTSORT:Lie Algebra}} [[Kategori: Grup Lie]] [[Kategori: Aljabar Lie\| ]]

Aljabar Lie: Perbedaan antara revisi