Sifat universal: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k clean up |
||
Baris 3:
[[Berkas:Universal morphism definition.svg|thumb|Diagram khas dari definisi morfisme universal.]]
Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''sifat universal''' adalah sifat penting yang dipenuhi oleh '''morfisme universal''' (lihat Definisi Formal).
Morfisme universal juga dapat dianggap lebih abstrak sebagai [[Objek awal dan terminal
Sifat universal dapat digunakan di bidang matematika lain secara implisit, tetapi definisi abstrak dan dipelajari dalam teori kategori.
Artikel ini memberikan perawatan umum tentang sifat universal. Untuk memahami konsepnya, ada baiknya mempelajari beberapa contoh terlebih dahulu, yang jumlahnya banyak: semua [[objek gratis]], [[produk langsung]] dan [[jumlah langsung]], [[grup bebas]], [[kisi bebas]], [[grup Grothendieck]], [[komplesi Dedekind–MacNeille]], [[topologi produk]], [[komplikasi Stone–Čech]], [[produk tensor]], [[limit invers]] dan [[limit langsung]], [[kernel (teori kategori )
== Motivasi ==
Baris 14:
* Detail konkret dari suatu konstruksi, tetapi jika konstruksinya memenuhi sifat universal, detail tersebut: semua yang perlu diketahui tentang konstruksi sudah terkandung dalam sifat universal. Bukti sering kali menjadi singkat dan elegan jika menggunakan sifat universal daripada detail konkret. Misalnya, [[aljabar tensor]] dari sebuah [[ruang vektor]] agak sulit untuk dibuat, tetapi menggunakan sifat universal membuatnya lebih mudah untuk ditangani.
* Properti universal mendefinisikan objek secara hingga [[isomorfisme]].<ref>Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.</ref> Oleh karena itu, salah satu strategi untuk membuktikan bahwa dua objek isomorfik adalah dengan menunjukkan bahwa sifat universal yang sama.
* Konstruksi universal bersifat fungsional: jika seseorang dapat melaksanakan konstruksi untuk setiap objek dalam kategori '' C '' maka seseorang memperoleh [[funktor]] pada '' C ''. Lebih lanjut, functor ini adalah [[funktor adjoin
* Sifat universal terjadi di mana-mana dalam matematika. Dengan memahami sifat abstraknya, seseorang memperoleh informasi tentang semua konstruksi ini dan dapat menghindari pengulangan analisis yang sama untuk setiap contoh individu.
Baris 20:
Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh. Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah). Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.
Maka <math>F: C \to D</math> menjadi fungsi antara kategori <math> C </math> dan <math> D </math>. Selanjutnya, misalkan <math> X </math> menjadi objek <math> D </math>, sedangkan <math> A </math> dan <math> A' </math> adalah objek <math> C </math>.
Jadi, funktor <math> F </math> memetakan <math> A </math>, <math>A'</math> dan <math> h </math> pada <math> C </math> ke <math>F(A)</math>, <math>F(A')</math> dan <math>F(h)</math> dalam <math>D</math>.
'''Morfisme universal dari <math> X </math> hingga <math> F </math>''' adalah <math>(A, u: X \to F(A))</math> dengan <math> D </math> yang memiliki sifat berikut, biasanya disebut sebagai '''sifat universal'''. Untuk morfisme bentuk
<math>f: X \to F(A')</math> di <math> D </math>, terdapat morfisme <math>h: A \to A'</math> sedemikian rupa sehingga diagram berikut [[diagram komutatif
[[Berkas:Universal morphism definition.svg|center|Diagram khas dari definisi morfisme universal.]]
Baris 33:
[[Berkas:Universal definition dualized.svg|center|Panah terpenting di sini adalah <math>u: F(A) \to X</math> yang menetapkan sifat universal.]]
Perhatikan bahwa di setiap definisi, panah dibalik. Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori.
Dalam kedua kasus, bahwa <math> (A, u) </math> di atas memenuhi sifat universal.
Sebagai catatan tambahan, beberapa penulis menyajikan diagram kedua sebagai berikut.
Baris 41:
== Relasi dengan Kategori Koma ==
Morfisme universal dapat dijelaskan lebih ringkas sebagai objek awal dan terminal dalam kategori koma.
Maka <math>F: C \to D</math> menjadi funktor dan <math> X </math> sebuah objek dari <math> D </math>. Kemudian bahwa kategori koma <math>(X \downarrow F)</math> adalah kategori dimana
Baris 69:
=== Tensor aljabar ===
Misalkan <math> C </math> menjadi [[kategori ruang vektor]] '''<math>K</math>-Vekt''' di atas [[bidang (matematika)
:<math>U</math> : '''<math>K</math>-Alj''' → '''<math>K</math>-Vekt'''
menjadi [[funktor fogetful]] yang menetapkan ruang vektor yang mendasarinya ke setiap aljabar.
Baris 80:
== Sejarah ==
Sifat universal dari berbagai konstruksi topologi disajikan oleh [[Pierre Samuel]] pada tahun 1948. Mereka kemudian digunakan secara ekstensif oleh [[Nicolas Bourbaki
== Lihat pula ==
Baris 110:
* [http://www.mta.ca/~cat-dist/ List of academic conferences on category theory]
* Baez, John, 1996,"[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html The Tale of ''n''-categories.]" Pengenalan informal untuk kategori tingkat tinggi.
* [http://wildcatsformma.wordpress.com WildCats] adalah paket teori kategori untuk [[Mathematica]]. Manipulasi dan visualisasi objek, [[morfisme]], kategori, [[funktor]], [[transformasi natural]],
* [https://www.youtube.com/user/TheCatsters The catsters], saluran YouTube tentang teori kategori.
* [http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events Video archive] rekaman pembicaraan yang relevan dengan kategori, logika dan dasar-dasar fisika.
Baris 118:
{{DEFAULTSORT:Universal Property}}
[[Kategori:
[[Kategori:
| |||