|
Teori '''kategori aksesibel''' adalah bagian dari [[matematika]], khususnya dari [[teori kategori]]. Ini mencoba untuk mendeskripsikan kategori dalam istilah "ukuran" ([[bilangan kardinal]]) dari operasi yang diperlukan untuk menghasilkan objek.
Teori ini berasal dari karya [[Alexander Grothendieck | Grothendieck]] yang diselesaikan pada tahun 1969,<ref>
{{Citation
| last = Grothendieck | first = Alexander
| year = 1991}} ([https://web.archive.org/web/20071024032414/http://www.institut.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs.html Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis])
</ref>
Beberapa properti kategori yang dapat diakses bergantung pada penggunaan [[Teori himpunan aksiomatik | himpunan universal]], terutama pada properti [[bilangan kardinal | kardinal]] dan [[prinsip Vopěnka]].<ref name="ref2">Adamek/Rosický 1994, chapter 6</ref>
== Kolimit-<math>\kappa</math> dan objek persentabel-<math>\kappa</math>==
Maka <math>\kappa</math> menjadi tak terbatas [[kardinal reguler]], yaitu [[bilangan kardinal]] yang bukan merupakan penjumlahan dari sejumlah kecil kardinal yang lebih kecil; contohnya adalah <math>\aleph _{0}</math> ([[Bilangan Aleph | aleph-0]]), bilangan kardinal pertama yang tak terhingga, dan <math>\aleph_{1} </math>, Kardinal pertama yang tak terhitung). [[Urutan himpunan parsial]] <math>(I, \leq) </math> disebut '''kolimit-<math>\kappa</math>''' jika setiap subset <math> J </math> dari <math> I </math> dengan kardinalitas kurang dari <math> \kappa </math> memiliki batas atas di <math> I </math>. Secara khusus, [[himpunan terarah]] biasa tepatnya adalah set yang diarahkan ke <math> \aleph_0 </math>.
Sekarang biarkan <math> C </math> menjadi [[kategori (matematika) | kategori]]. [[Limit langsung]] (juga dikenal sebagai kolom terarah) di atas <math>\kappa</math> pada himpunan <math>(I, \leq) </math> disebut '''kolimit terarah-<math>\kappa</math>'''. Objek <math> X </math> dari <math> C </math> disebut '''persentabel-'''<math>\kappa</math> jika [[funktor Hom]] <math>\operatorname{Hom}(X,-)</math> dengan kolimit-<math>\kappa</math> dalam <math>C</math>. Jelas bahwa setiap persentabel-<math>\kappa</math> pada objek disebut juga persentabel-<math>\kappa'</math> maka <math>\kappa\leq\kappa'</math>, karena terarah kolimit-<math>\kappa'</math> juga terarah kolimit dalam kasus-<math>\kappa</math>. Persentabel-<math>\aleph_0</math> objek disebut '''persentabel finiter'''.
=== Contoh ===
*Dalam kategori '''[[Kategori himpunan | Himpunan]]''' dari semua himpunan, objek yang dapat ditampilkan secara terbatas bertepatan dengan himpunan hingga. Persentabel-<math>\kappa</math> pada objek adalah himpunan kardinalitas yang lebih kecil dari <math>\kappa</math>.
*Dalam [[Kategori grup | kategori dari semua grup]], sebuah objek dapat disajikan secara halus jika dan hanya jika itu adalah [[Presentasi grup#disajikan secara terbatas | grup yang disajikan secara terbatas]], yaitu jika objek memiliki presentasi dengan banyak generator. Untuk regular tak terhitung <math>\kappa</math>, persentabel-<math>\kappa</math> objek tepatnya grup dengan kardinalitas lebih kecil dari <math>\kappa</math>.
*Dalam [[Kategori modul | kategori kiri modul-<math> R </math>]] di atas beberapa (asosiatif) [[gelanggang (matematika) | gelanggang]] <math> R </math>, objek yang dapat ditampilkan dengan tepat secara tepat adalah [[modul generalisasi hingga#modul yang disajikan dengan baik, terkait dengan halus, dan koheren | modul yang disajikan dengan baik]].
== {{Anchor|persentabel_lokal}} Kategori-<math>\kappa</math> aksesibel dan ditampilkan secara lokal ==
* Kategori [[himpunan sederhana]] dapat diakses secara terbatas.
* Kategori Mod(T) model dari beberapa [[teori urutan pertama]] dengan tanda tangan yang dapat dihitung adalah aksesibel-<math>\aleph_1</math>. Persentabel-<math>\aleph_1</math> objek adalah model dengan jumlah elemen yang dapat dihitung.
* Contoh lebih lanjut dari kategori yang dapat dirapikan secara lokal adalah kategori aljabar finiter (yaitu kategori yang sesuai dengan [[Varietas (aljabar universal) | varietas aljabar]] dalam [[aljabar universal]]) dan [[kategori Grothendieck | kategori Grothendieck]].
== Teorema ==
Dapat ditunjukkan bahwa setiap kategori yang dapat ditampilkan secara lokal juga [[Kategori kompleks | kompleks]].<ref>Adamek/Rosický 1994, remark 1.56</ref> Lebih lanjut, kategori dapat ditampilkan secara lokal jika dan hanya jika setara dengan kategori model dengan batas [[Sketsa (matematika) | sketsa]].<ref>Adamek/Rosický 1994, corollary 1.52</ref>
[[Funktor adjoin]] antara kategori yang dapat ditampilkan secara lokal memiliki karakterisasi yang sangat sederhana. Funktor <math>F : C \to D</math> antara kategori yang dapat ditampilkan secara lokal:
| isbn = 0-521-42261-2 }}
[[Kategori: Teori kategori]]
| 