Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi

Pada abad ke-3 SM, [[Euklides]] merumuskan fondasi-fondasi [[aritmetika]] dalam bukunya ''[[Elemen Euklides|Element]]''. Di dalamnya, terdapat sebuah [[Lema (matematika)|lema]] yang umum dirujuk sebagai [[Lemma Euklidean|lema Euklides]], versi awal dari [[teorema dasar aritmetika]] dan studi mengenai [[bilangan sempurna]]<ref>{{Cite journal|last=Heath|first=Thomas|date=1911|title=The thirteen books of Euclid's Elements|url=|journal=The Mathematical Gazette|volume=6|issue=92|pages=98-101|doi=}}</ref> dalam proposisi 36 pada bukunya ke-9.<ref>{{Cite web|title=Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html|website=mathcs.clarku.edu|access-date=2021-02-09}}</ref> [[Diofantos|Diofantos dari Alexandria]] (sekitar 250 M) menulis buku ''[[Arithmetica]]'' yang memuat 130 persamaan. Sebagian besar isinya membahas permasalahan yang memiliki hanya satu solusi, baik dalam bentuk pecahan maupun bilangan bulat. Buku tersebut juga menunjukkan bahwa jumlah dari dua [[bilangan sempurna]] tidak pernah dalam bentuk <math>4n+3</math>. Bentuk persamaan yang ia bahas, dengan koefisien persamaan dan solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat, saat ini dikenal sebagai [[persamaan Diofantin]].<!-- tambahkan perkembangan di China, India, dan Islam -->

Pada tahun 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac <!-- Mungkin ada alih bahasa yang lebih baik, dari nama orang ini? -->menerjemahkan buku Diofantos ke bahasa Latin, yang memicu ketertarikan matematikawan saat itu. [[Pierre de Fermat]] banyak memberikan pernyataan matematika, tiga yang terkenal adalah [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir]]-nya, teorema jumlah dua persegi, dan [[Teorema kecil Fermat|teorema kecil]]-nya. [[Marin Mersenne]] mencari [[Bilangan prima Mersenne|bilangan prima yang mememiliki sifat unik]]. Fermat berkorespodensi dengannya, menulis [terjemahan] "Jika saya mengetahui alasan fundamental mengapa 3, 5, 7, 17, 257, 65537, ..., adalah bilangan prima, sepertinya saya akan menemukan hal yang sangat indah dalam masalah ini, karena saya sudah menemukan hal hebat yang saya bagikan kepadamu saat ini".<ref>Fermat, ''Korespodensi'', sebuah surat kepada Marin Mersenne, 25 Desember 1640.</ref> Bilangan tersebut dikenal sebagai [[bilangan Fermat]], walau sifat keprimaannya bilangan-bilangan tersebut ternyata hanya tebakan yang keliru dari Fermat. [[René Descartes|Rene Descartes]] melakukan penelitian tanpa hasil, dalam membuktikan jika sisa pembagian [[bilangan prima]] dengan 8 bernilai 1 atau 3, bilangan prima tersebut dapat ditulis dalam bentuk <math>x^2+2y^2</math>.<!-- MetodePerkembanga metode yang digunakan

Modulo kongruensikekongruenan {{mvar | n}} adalah [[relasi kekongruenan]], artinya ini adalah [[relasi ekuivalensi]] yang kompatibel dengan operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], dan [[perkalian]]. Modulo kongruensikekongruenan {{mvar | n}} dilambangkan:

Hubungan kongruensikekongruenan dapat ditulis ulang sebagai

==== Contoh ====

Definisi kongruensikekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:

==== Sifat ====

* Jika {{math|''a x'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} dan {{math | '' a ''}} koprima dengan {{math | '' n ''}}, maka solusi untuk kongruensikekongruenan linear ini diberikan oleh {{math|''x'' ≡ ''a''^–1''b'' (mod ''n'')}}

== Kelas kongruensikekongruenan {{Anchor|Residu | Kelas residu | Kelas kongruensi}} ==

Seperti relasi kesesuaian lainnya, kongruensikekongruenan modulo {{math | '' n ''}} adalah [[relasi ekuivalensi]], dan [[ekuivalen]] dari bilangan bulat {{math | '' a ''}}, dilambangkan dengan {{math|{{overline|''a''}}{{sub|''n''}}}}, adalah himpunan {{math|&#123;… , ''a'' − 2''n'', ''a'' − ''n'', ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', …&#125;}}. Himpunan ini, terdiri dari semua bilangan bulat yang kongruen dengan {{math|''a''}}&nbsp;modulo&nbsp;{{math|''n''}}, disebut '''kelas kongruensikekongruenan''', '''kelas residu''', atau hanya '''residu''' dari bilangan bulat {{math|''a''}} modulo&nbsp;{{math|''n''}}. Ketika modulus {{math | '' n ''}} diketahui dari konteksnya, residu ini dilambangkan {{math|[''a'']}}.

Himpunan dari semua [[Modular aritmatika#Kelas kesesuaian|kelas kongruensikekongruenan]] dari bilangan bulat untuk modulus {{math | '' n ''}} disebut '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display=inline>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|access-date=2020-08-12|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref> Notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).