Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menambahkan →Sejarah: , hasil alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Perancis fr: Arithmétique modulaire; Lihat sejarahnya untuk atribusi. menambah penjelasan pada bagian pembuka. menyusun kembali posisi sub-subbagian untuk mempermudah pengembangan artikel |
Menambah teks pada →Sejarah: , hasil alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Perancis fr: Arithmétique modulaire; Lihat sejarahnya untuk atribusi. Menambahkan gambar. |
||
Baris 11:
=== Asal mula ===
[[Berkas:Diophantus-cover.jpg|jmpl|Laman judul edisi 1621 ''Aritmatika'' karya Diofantos, diterjemahkan ke dalam [[bahasa Latin]] oleh [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].|kiri]]
Pada abad ke-3 SM, [[Euklides]] merumuskan fondasi-fondasi [[aritmetika]] dalam bukunya ''[[Elemen Euklides|Element]]''. Di dalamnya, terdapat sebuah [[Lema (matematika)|lema]] yang umum dirujuk sebagai [[Lemma Euklidean|lema Euklides]], versi awal dari [[teorema dasar aritmetika]] dan studi mengenai [[bilangan sempurna]]<ref>{{Cite journal|last=Heath|first=Thomas|date=1911|title=The thirteen books of Euclid's Elements|url=|journal=The Mathematical Gazette|volume=6|issue=92|pages=98-101|doi=}}</ref> dalam proposisi 36 pada bukunya ke-9.<ref>{{Cite web|title=Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html|website=mathcs.clarku.edu|access-date=2021-02-09}}</ref> [[Diofantos|Diofantos dari Alexandria]] (sekitar 250 M) menulis buku ''[[Arithmetica]]'' yang memuat 130 persamaan. Sebagian besar isinya membahas permasalahan yang memiliki hanya satu solusi, baik dalam bentuk pecahan maupun bilangan bulat. Buku tersebut juga menunjukkan bahwa jumlah dari dua [[bilangan sempurna]] tidak pernah dalam bentuk <math>4n+3</math>. Bentuk persamaan yang ia bahas, dengan koefisien persamaan dan solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat, saat ini dikenal sebagai [[persamaan Diofantin]].
Baris 29:
=== Kontribusi Carl Friedrich Gauss ===
[[Berkas:Carl Friedrich Gauss.jpg|kiri|jmpl|[[Carl Friedrich Gauss]] adalah penemu cabang matematika yang sekarang disebut ''aritmetika modular''.]]
Ketika berusia 17 tahun, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] membuktikan teorema ''quadratic reciprocity''. Setahun kemudian, pada 30 Maret 1796, ia menyadari kalkulasi aritmetika-nya memungkinkan untuk mengontruksi [[heptadekagon]] (poligon dengan 17 sisi) dengan menggunakan jangka dan penggaris, sebuah permasalahan yang tidak terjawab sejak masa kuno. Akhirnya pada 1801, ia mempublikasikan ''[[Disquisitiones Arithmeticae]] ''(''Penelitian tentang Aritmetika''), dan dijuluki ''pangeran matematikawan''.<ref>{{Cite book|last=Naudin, Patrice.|date=1992|url=https://www.worldcat.org/oclc/26033061|title=Algorithmique algébrique : avec exercices corrigés|location=Paris|publisher=Masson|isbn=2-225-82703-6|others=Quitté, Claude.|oclc=26033061}}</ref>
Dua penemuan Gauss tersebut berasal dari pendekatan yang sama, dengan peralatan yang lebih maju ketimbang pada masa Fermat maupun Euler. Hal ini memungkinkan untuk menulis pembuktian yang lebih sederhana, walau menjadi lebih abstrak. Pendekatannya adalah dasar bagi aritmetika modular.
Aritmetika modular awalnya diterapkan kepada bilangan bulat, lalu ke polinomial, dilanjutkan kepada himpunan bilangan baru yang sekarang disebut dengan [[bilangan Gaussian]].
Semua persamaan Diofantin Fermat sudah terselesaikan saat ini, kecuali untuk teorema terakhirnya. Beberapa konjektur baru muncul. Sebagai contoh, jika ''a'' dan ''b'' saling koprima, apakah barisan aritmetika dengan nilai awal ''a'' dan kelipatan ''b'' memiliki bilangan prima, jika iya berapa banyak? Gauss dan matematikawan lain seperti Legendre berhipotesis bahwa ada takhingga prima di barisan tersebut, namun mereka tidak mampu membuktikannnya.
Aritmetika modular juga semakin diperkaya. Dirichlet, seorang siswa Gauss membuktikan teorema ''aritmetic progression''<ref>{{Cite journal|last=Dirichlet|first=|date=1840|title=Recherches de diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres|url=|journal=Journal de Crelle|volume=21|issue=|pages=|doi=}}</ref> dengan mengembangkan konsep [[Karakter Dirichlet|karakter]], sekaligus memberi dasar formal untuk ilmu [[teori bilangan analitik]]. <!-- belum semuanya dialihbahasakan -->
=== Abad ke-20 ===
==== Kriptografi ====
[[Berkas:Enigma.jpg|jmpl|''[[Mesin Enigma|Enigma]]'' adalah mesin enkripsi yang digunakan selama [[Perang Dunia II]], berhasil dipecahkan oleh matematikawan [[Marian Rejewski]].]]
[[Kriptografi]] adalah ilmu yang mempelajari sandi rahasia, dan awalnya termasuk dalam [[matematika murni]]. Di sisi lain, aplikasi pada bidang industri yang meningkat membuat notasi matematika yang dikembangkan Gauss populer digunakan dalam ilmu ini. Pada tahun 1883, [[Auguste Kerckhoffs]] menyatakan bahwa "keamanan sistem kriptografi seharusnya tidak didasarkan pada kerahasiaan [[Algoritme|algoritma]] yang digunakan. Keamanan seharusnya hanya bergantung pada kerahasiaan [[Kunci (kriptografi)|kunci]]."<ref>{{Cite journal|last=Kerckhoffs|first=A.|date=1883|title=La cryptographie militaire|url=http://www.petitcolas.net/fabien/kerckhoffs|journal=Journal des sciences militaires|volume=IX|issue=|pages=5-83 dan 161-191|doi=}}</ref> Pendekatan baru ini memodifikasi bentuk ilmu ini. Pada pertengahan abad ke-20, ilmu ini menjadi cabang dari [[matematika terapan]].<ref>{{Cite journal|last=Shannon|first=Claude|date=1949|title=Communication Theory of Secrecy Systems|url=|journal=Bell System Technical Journal|volume=29|issue=|pages=656-715|doi=}}</ref>
Pada awal tahun 1930-an, kantor sandi Polandia meminta matematikawan [[Marian Rejewski]] untuk memecahkan kode [[mesin Enigma]], yang digunakan oleh Jerman. Kode lawas, seperti [[sandi Caesar]], didefinisikan ulang sebagai transformasi matematis pada himpunan modulus Gaussian atas bilangan bulat.<!-- tolong koreksi
==== Teori informasi ====
{{See also|teori informasi}}
[[Berkas:P-MMX.JPG|jmpl|[[Pentium|Prosesor Pentium]] berisi perintah aritmetika dan unit logika yang didasarkan pada aritmetika modular.]]
Kriptografi bukan satu-satunya bidang yang menggunakan istilah "aritmetika modular". Bidang ilmu [[teori informasi]] muncul pada akhir [[Perang Dunia II]]. Dalam kepemimpinan [[Claude Shannon]], bidang tersebut menjadi cabang dari [[matematika terapan]].<ref>{{Cite journal|last=Shannon|first=Claude|date=1948|title=A Mathematical Theory of Communications|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=27|issue=|pages=379-428 dan 623-656|doi=}}</ref> Walau kerahasiaan adalah salah satu topik diskusi, reabilitas (keandalan) juga menjadi tema utama bidang tersebut. [[Richard Hamming]] membuat algoritma pertama pada tahun 1950.<ref>{{Cite journal|last=Hamming|first=Richard|date=1950|title=Error Detecting and Correcting Codes|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=29|issue=|pages=150-163|doi=}}</ref> Sekali lagi, modulus bilangan buat digunakan teknik koding sederhana seperti ''checksum''. Pada tahun 1960, [[Kode siklik|koding]] yang lebih kuat dikembangkan, didasarkan pada polinomal dengan koefisien atas ''finite field''.<ref>{{Cite journal|last=Bose|first=Raj Chandra|last2=Ray-Chaudhuri|first2=D. K.|date=1960|title=On a class of error-correcting. Binary group codes|url=|journal=Information Control|volume=3|issue=|pages=68-79|doi=}}</ref> Aritmetika yang digunakan untuk objek tersebut umumnya menggunakan kata "modular".
[[Ilmu komputer]] menjadi kajian akademik pada awal tahun 1960.<ref>{{Cite book|last=Denning|first=Peter J.|date=2000|url=https://web.archive.org/web/20060525195404/http://www.idi.ntnu.no/emner/dif8916/denning.pdf|title=Computer Science: The Discipline|location=|publisher=|isbn=|series=Encyclopedia of Computer Science|pages=|url-status=live}}</ref> Batasan tak terhindarkan dari struktur [[prosesor]] mengharuskan bilangan direpresentasikan dalam bentuk bit yang terbatas; menjustifikasi penggunaan modulo. Istilah "aritmetika modular" sering muncul, kita bahkan dapat menemukan [[bilangan Gaussian]] atau polinomial, sebagai contoh, untuk kalkulasi bilangan bulat berukuran besar.
Teknik yang dikembangkan untuk kriptografi, [[teori koding]], dan aritmetika komputer, didasarkan pada konsep yang sama, memberikan suatu kesatuan di matematika terkait teori informasi.
== Objek dengan aritmetika modular ==
| |||