Relasi ekuivalensi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k mengubah pranala merah "kelas ekuivalensi" menjadi kelas ekuivalen |
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en: Equivalence relation; Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 19:
''X'' bersama dengan relasi ~ disebut sebuah [[setoid]]. [[Kelas ekuivalen|Kelas ekuivalensi]] dari <math>a</math> di bawah ~, dilambangkan dengan <math>[a]</math>, didefinisikan sebagai <math>[a] = \{b\in X \mid a\sim b\}</math>.
== Contoh ==
=== Contoh sederhana ===
Anggap himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math> memiliki relasi ekuivalensi <math>\{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}</math>. Himpunan <math>[a]=\{a\} </math> dan <math>[b]=[c]=\{b,c\}</math> adalah [[Kelas ekuivalen|kelas ekuivalensi]] dari relasi ini.
Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah <math>\{\{a\},\,\{b,\,c\}\}</math>. Himpunan ini adalah partisi dari himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math>.
=== Relasi ekuivalensi ===
Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:
* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, <math>\tfrac{1}{2}</math> sama dengan <math>\tfrac{4}{8}</math>.<ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: Equivalence Classes|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-02-10}}</ref>
* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
* "[[kongruen]] dengan" pada himpunan semua [[segitiga]].
* "[[Operasi modulus|kongruen]] modulo ''n'' dengan" pada bilangan bulat.<ref name=":0" />
* "Memiliki nilai mutlak yang sama dengan" pada himpunan [[Bilangan riil|bilangan real]].
* "Memiliki nilai [[kosinus]] yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.
=== Relasi yang bukan ekuivalensi ===
* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, namun tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
* Relasi "memiliki [[Faktor persekutuan terbesar|faktor pembagi bersama]] yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, namun tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), namun 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.
== Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi ==
Anggap <math>a,\,b \in X</math>. Ada beberapa definisi
=== Kelas ekuivalensi ===
{{Main|Kelas ekuivalen}}
Sebuah subhimpunan <math>Y</math> dari <math>X
</math>, dengan <math>a \sim b</math> tetap berlaku untuk semua <math>a,\,b \in Y</math> namun tidak pernah ketika <math>a\in Y \ \ \text{dan} \ \ b\notin Y</math>, disebut sebagai sebuah '''kelas ekuivalensi ''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>. Anggap <math>[a] := \{x\in X \,|\, a\sim x\}</math> menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen <math>a
</math>. Semua elemen di <math>X
</math> yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.
=== Himpunan hasil bagi ===
{{Main|Himpunan hasil bagi}}
Himpunan semua kelas ekuivalensi '''''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>, yang dinyatakan sebagai <math>X/\mathord{\sim} := \{[x] \mid x \in X\}</math> , adalah [[himpunan hasil bagi]] '''''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>. Jika '''''<math>X
</math>''''' adalah [[Ruang topologi|ruang topologis]], ada cara mudah mengubah <math>X/\mathord{\sim}</math> menjadi ruang topologis. Lihat [[ruang hasil bagi]] untuk detailnya.
== Teorema dasar relasi ekuivalensi ==
Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:<ref>{{Cite book|last=Wallace|first=D. A. R.|date=1998|url=|title=Groups, Rings and Fields|location=|publisher=Springer-Verlag|isbn=|pages=31|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite book|last=Dummit|first=D. S.|last2=Foote|first2=R. M.|date=2004|url=|title=Abstract Algebra|location=|publisher=John Wiley & Sons|isbn=|edition=3|pages=3|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite book|last=Hrbacek|first=Karell|last2=Jech|first2=Thomas|date=1999|url=|title=Introduction to Set Theory|location=|publisher=Marcel Dekker|isbn=|edition=3|pages=29-32|url-status=live}}</ref>
* Relasi ekuivalensi ''<math>\sim
</math>'' pada himpunan <math>X
</math> mempartisi himpunan <math>X
</math> tersebut.
* Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan <math>X
</math>, terdapat suatu relasi ekuivalensi ''<math>\sim
</math>'' yang sesuai pada himpunan <math>X
</math>.
Anggap <math>Y
</math> sebagai partisi dari <math>X
</math>. Pada kedua kasus, sebuah himpunan di <math>Y
</math> adalah kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>. Karena setiap elemen di <math>X
</math> terletak di tepat satu himpunan di <math>Y
</math>, dan karena setiap himpunan di <math>Y
</math> identik ke kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>, maka setiap elemen di <math>X
</math> terletak di tepat satu kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>. Dengan demikian, terdapat [[bijeksi]] antara himpunan semua relasi ekuivalensi di <math>X
</math> dengan himpunan semua partisi dari <math>X
</math>.
== Referensi ==
<references />
==Pranala luar==
* {{springer|title=Equivalence relation|id=p/e036030}}
* [https://web.archive.org/web/20130509233055/http://planetmath.org/equivalencerelation Equivalence relation] di PlanetMath<br />
[[Kategori:Relasi biner]]
[[Kategori:Ekuivalensi (matematika)]]
{{Matematika-stub}}
| |||