Wikipedia

Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k perubahan istilah dan pranala: "teori koding" menjadi "teori kode"; kata "koding" menjadi "penkodean"
melakukan perbaikan gaya bahasa pada →Kekongruenan bilangan bulat: dan menambahkan bagian →Perkembangan teoritis: didasarkan pada konten Wikipedia bahasa Perancis fr:Arithmétique_modulaire.
Baris 61:
=== Kekongruenan bilangan bulat ===
{{See also|operasi modulus}}
Penerapan aritmetika modular tertua ada pada [[bilangan bulat]]. Setelah menetapkan sebuah bilangan bulat {{<math|''>n'' > 1}}</math>, yang disebut dengan'' 'modulus' '', komputasikekongruenan modulo ''n'' dilakukan dengan melakukan perhitungan terhadap sisa hasil pembagian bilangan-bilangan lain terhadap ''n''. Dua bilangan bulat dikatakan '''kongruen''' modulo{{mvar | n}}, jika selisih kedua bilangan tersebut merupakan kelipatan{{mvar | n}} (yaitu, jika ada bilangan bulat {{math | '' k ''}} sehingga {{math|1=''a'' − ''b'' = ''kn''}}).
 
ModuloKekongruenan kekongruenan {{mvar |modulo ''n}}'' adalah sebuah [[relasi kekongruenan]], artinya inikekongruenan adalah [[relasi ekuivalensi]] yang kompatibel dengan operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], dan [[perkalian]]. Modulo kekongruenanKekongruenan modulo{{mvar | n}} dilambangkan:▼
Dua bilangan bulat dikatakan '''kongruen''' modulo {{mvar | n}}, jika selisih kedua bilangan tersebut adalah kelipatan{{mvar | n}} (yaitu, jika ada bilangan bulat {{math | '' k ''}} sehingga {{math|1=''a'' − ''b'' = ''kn''}}).
 
▲Modulo kekongruenan {{mvar | n}} adalah [[relasi kekongruenan]], artinya ini adalah [[relasi ekuivalensi]] yang kompatibel dengan operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], dan [[perkalian]]. Modulo kekongruenan {{mvar | n}} dilambangkan:
 
:<math>a \equiv b \pmod n.</math>
 
Tanda kurung berartimengartikan bahwa {{math|(mod ''n'')}} berlaku untuk seluruh persamaan, tidak hanya dikedua ruas kanan (di sini {{mvar | b}})persamaan. Notasi ini jangan disamakanberbeda dengan notasi {{math|''b'' mod ''n''}} (tanpa tanda kurung), yang mengacu pada [[operasi modulomodulus]]. Maka,Notasi {{math|''b'' mod ''n''}} menunjukkanmerujuk pada sebuah bilangan bulat unik {{mvar | <math>a}}</math> sehinggadengan {{<math|>0 ≤\leq ''a'' < ''n''}}</math> dan memenuhi <math>a \equiv b \; (\text{mod}\; n)</math> (misalnyaDengan kata lain, sisa <math>b</math> jikaketika dibagi dengan <math>n</math><ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-12|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>).
 
Hubungan kekongruenan dapat ditulis ulang sebagai
:<math>a = kn + b,</math>
yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, {{suku <math | '' >b</math> ''}}tersebut tidak menjadibukanlah sisa dari pembagian {{<math | '' >a ''}}</math> oleh {{<math>n</math>. |Dalam ''pengartian nyang ''.}}lebih Sebagai gantinyatepat, pernyataan {{<math|''>a'' ≡\equiv ''b'' \ \ (\text{mod}\, ''n'')}}</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama jikaketika dibagi dengan {{math | '' n ''}} adalah, yakni
:<math>a = pn + r,</math>
:<math>b = qn + r,</math>
dimanadengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa umumpembagian keduanya. DenganMengurangkan mengurangkan duakedua ekspresi inidiatas, kamikita memulihkandapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya:, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
:<math>a - b = kn,</math>
dengan menyetel {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
 
ContohSebagai contoh, Dalamdalam modulus 12, seseorang dapat menyatakan bahwa:
 
:<math>38 \equiv 14 \pmod {12}</math>
 
karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}, yang merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa 2 yang sama, jikayakni 2, ketika dibagi dengan 12.
 
Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:
Baris 94 ⟶ 90:
\end{align}</math>
 
==== BilanganGelanggang bilangan bulat modulo '' n '' ====
Himpunan dari semua [[Modular aritmatika#Kelas kesesuaian|kelas kekongruenan]] dari bilangan bulat untuk modulus {{math | '' n ''}} disebut '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display="inline">\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> Notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).
 
Baris 118 ⟶ 114:
 
=== Kelas kekongruenan ===
Seperti relasi kesesuaianekuivalensi lainnya, kekongruenan modulo {{math | '' n ''}} adalah [[relasi ekuivalensi]], dan [[ekuivalen]] dari bilangan bulat {{math | '' a ''}}, dilambangkan dengan {{math|{{overline|''a''}}{{sub|''n''}}}}, adalah himpunan {{math|&#123;… , ''a'' − 2''n'', ''a'' − ''n'', ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', …&#125;}}. Himpunan ini, terdiri dari semua bilangan bulat yang kongruen dengan {{math|''a''}}&nbsp;modulo&nbsp;{{math|''n''}}, disebut '''kelas kekongruenan''', '''kelas residu''', atau hanya '''residu''' dari bilangan bulat {{math|''a''}} modulo&nbsp;{{math|''n''}}. Ketika modulus {{math | '' n ''}} diketahui dari konteksnya, residu ini dilambangkan {{math|[''a'']}}.
 
=== Sistem residu ===
Setiap kelas residu modulo {{math | '' n ''}} dapat diwakili oleh salah satu anggotanya, meskipun biasanya mewakili setiap kelas residu dengan bilangan bulat nonnegatif terkecil yang termasuk dalam kelas<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Modular Arithmetic|url=https://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html|access-date=2020-08-12|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> (karena ini adalah sisa yang tepat yang dihasilkan dari pembagian). Dua anggota kelas residu yang berbeda modulo {{math | '' n ''}} adalah modulo tidak selaras {{math | '' n ''}}. Selain itu, setiap bilangan bulat milik satu dan hanya satu kelas residu modulo {{math | '' n ''}}.<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=90}}</ref>
 
Himpunan bilangan bulat {{math|&#123;0, 1, 2, …, ''n'' − 1&#125;}} disebut '''modulo sistem residu terkecil {{math |' 'n' '}}'''. Setiap rangkaian bilangan bulat {{math | '' n ''}}, tidak ada dua yang kongruen modulo {{math | '' n ''}}, disebut '''modulo sistem residu lengkap {{math |' 'n' '}}'''.
Baris 139 ⟶ 135:
*{5, 15}, karena modulo 4 sistem residu lengkap harus memiliki tepat 4 kelas residu yang tidak selaras.<!-- Contoh ini digunakan dalam sub-bagian berikut jadi jangan mengubahnya. -->
 
==== Sistem residu berkurang ====
{{Main|Mengurangi sistem residu}}
[[Fungsi total Euler]] {{math|φ(''n'')}}, himpunan dari {{math|φ(''n'')}} bilangan bulat yang [[Coprime integers|relative prime]] menjadi {{math | '' n ''}} dan saling tidak selaras di bawah modulus {{math | '' n ''}} disebut '''modulo sistem residu tereduksi {{matematika | '' n ''}}'''.<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=85}}</ref> Himpunan {5,15} dari atas, misalnya, adalah turunan dari modulo 4 sistem residu tereduksi.
 
== Perkembangan teoritis ==
Dalam matematika, umum dijumpai sebuah konsep matematika yang dikembangkan dalam sebuah bidang, digunakan ulang pada bidang-bidang lain. Hal yang sama juga berlaku untuk aritmetika modular, yang membantu banyak bidang [[matematika murni]], seperti [[aljabar]] dan [[teori Galois]]. Namun, perkembangan-perkembangan berikut tidak dianggapkan sebagai kasus khusus dari aritmetika modular, karena digunakan bersama konsep-konsep lainnya.
 
=== Struktur hasil bagi ===
{{Main|relasi ekuivalensi}}
Dalam matematika modern, aritmetika modular diformalkan dengan menggunakan konsep ''Euclidean ring''. Konsep [[relasi ekuivalensi]] memungkinkan aritmetika modular diterapkan ke banyak [[struktur aljabar]]. Sebagai contoh, [[Grup hasil bagi|hasil bagi]] sebuah [[Grup (matematika)|grup]] dengan sebuah [[subgrup normal]], dengan menggunakan [[teorema Jordan-Holder]], adalah alat dasar untuk mengklasifikasikan [[grup hingga]]. Grup hasil bagi juga digunakan dalam [[topologi aljabar]] untuk mengelompokkan [[Lipatan (matematika)|lipatan]].
 
== Sifat kekongruenan bilangan bulat ==
{{See also|Relasi kekongruenan|Operasi modulus}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Aritmetika_modular"