Wikipedia

Teorema Euler: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k perbaikan gaya bahasa
perbaikan gaya bahasa
Baris 1:
{{short description|Generalisasi teorema kecil Fermat ke modulus non-prima}}
{{about|Teorema Euler dalam teori bilangan||Daftar topik yang dinamai menurut Leonhard Euler}}
Dalam [[teori bilangan]], '''Teorema Euler''' (juga dikenal sebagai '''Teorema Fermat-Euler''' atau '''Teorema Total Euler''') menyatakan bahwa jika ''n'' dan ''a'' adalah bilangan bulat positif yang saling [[koprima]], maka ''a'' pangkat fungsi phi Euler dari ''n'' akan kongruen dengan satu, dalam [[aritmetika modular|modulo]] ''n'',. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan atau:sebagai
:<math>a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>
dengan <math>\varphi(n)</math> adalah [[fungsi phi Euler]]. Pada tahun 1736, [[Leonhard Euler]] mempublikasikan bukti [[teorema kecil Fermat]] versinya,<ref>Lihat:
* Leonhard Euler (diterbitkan: 2 Agustus 1736; diterbitkan: 1741) [https://books.google.com/books?id=-ssVAAAAYAAJ&pg=RA1-PA141#v=onepage&q&f=false "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio"] (Bukti teorema tertentu tentang bilangan prima), ''Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', '''8''' : 141–146.
* Untuk detail lebih lanjut tentang makalah ini, termasuk terjemahan bahasa Inggris, lihat: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/54/ The Euler Archive].</ref> karena [[Pierre de Fermat|Fermat]] tidak menyertakan bukti teorema tersebut. Selanjutnya, Euler menerbitkan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada "Teorema Euler" dalam makalahnyapenelitiannya tahun 1763, di mana ia mencoba untuk menemukan eksponen terkecil sehinga teorema kecil Fermat selalu bernilai benar.<ref>Lihat:
*L. Euler (published: 1763) [https://books.google.com/books?id=5uEAAAAAYAAJ&pg=PA74#v=onepage&q&f=false "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata"] (Bukti metode baru dalam teori aritmetika), ''Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', '''8''' : 74–104. Teorema Euler muncul sebagai "Teorema 11" pada halaman 102. Makalah ini pertama kali dipresentasikan ke Akademi Berlin pada 8 Juni 1758 dan ke Akademi St. Petersburg pada 15 Oktober 1759. Dalam makalah ini, fungsi total Euler, <math>\varphi(n)</math>, tidak dinamai tetapi disebut sebagai "numerus partium ad ''N'' primarum" (jumlah bagian prima ke ''N''; yaitu, jumlah bilangan asli yang lebih kecil dari ''N'' dan relatif prima sampai ''N'')
*Untuk detail lebih lanjut tentang makalah ini, lihat: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E271.html The Euler Archive].
Baris 12:
Kebalikan dari teorema Euler: jika kekongruenan di atas benar, maka <math>a</math> dan <math>n</math> saling koprima.
 
TeoremaUntuk kasus <math>n</math> adalah suatu bilangan prima <math>p</math>, teorema Euler adalah generalisasiperumuman dari [[teorema kecil Fermat]]. Pada kasus ini, nilai <math>\varphi(p)=p-1</math>, dan dapatdengan digeneralisasikanmengalikan lebihkedua lanjutruas persamaan dengan [[Fungsi<math>a</math>, Carmichael|teorema Carmichael]].Euler dapat ditulis sebagai
 
:<math>a^{p-1}=1 \equiv p \pmod{p},</math> ▼
Teorema Euler dapat digunakan untuk mengurangi nilai pangkat yang besar pada modulo <math>n</math>. Misalnya, anggap kita perlu untuk mencari digit desimal tempat satuan dari <math>7^{222}</math>, dengan kata lain, <math>7^{222} \pmod{10}</math>. Bilangan bulat 7 dan 10 saling koprima, dan nilai <math>\varphi(10) = 4</math>. Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Euler didapatkan <math>7^4 \equiv 1 \pmod{10}</math>, dan hasil diperoleh adalah <math>7^{222} \equiv 7^{4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55} \times 7^2 \equiv 1^{55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}</math>.▼
 
Teorema Euler juga dapat diperumum lebih lanjut dengan [[Fungsi Carmichael|teorema Carmichael]].
Secara umum, mengurangi pangkat <math>a</math> pada modulo <math>n</math> (di mana <math>a</math> dan <math> n </math> saling koprima), kita cukup bekerja pada modulo <math>\varphi(n)</math> dalam perpangkatan <math>a</math>:▼
:jika <math>x \equiv y \pmod{\varphi(n)}</math>, maka <math>a^x \equiv a^y \pmod{n}</math>.
 
▲Teorema Euler dapat digunakan untuk mengurangi nilai pangkat yang besar pada modulo <math>n</math>. Misalnya, anggap kita perlu untuk mencari digit desimal tempat satuan dari <math>7^{222}</math>, dengan kata lain, mencari nilai dari <math>7^{222} \pmod{10}</math>. BilanganKita bulatdapat 7mencari dan 10 saling koprima, danbahwa nilai <math>\varphi(10) = 4</math>, dan mengetahui angka 7 dan 10 saling koprima. Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Euler didapatkan <math>7^4 \equiv 1 \pmod{10}</math>,. danSelanjutnya kita hasiltinggal diperolehmenyederhanakan adalahbentuk <math>7^{222} \equiv 7^{4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55} \times 7^2 \equiv 1^{55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}</math>. seperti berikut
Teorema Euler menjadi dasar [[RSA|algoritma RSA]], yang banyak digunakan dalam sistem komunikasi di [[Internet]]. Dalam algoritma ini, teorema Euler digunakan bersama sebuah bilangan {{mvar|n}}, yang merupakan hasil kali dari dua [[bilangan prima]] besar, dan tingkat keamanan algoritma didasarkan pada tingkat kesulitan untuk [[faktorisasi bilangan bulat|memfaktorkan]] bilangan {{mvar|n}} tersebut.▼
 
<math>7^{222} \equiv 7^{4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55} \times 7^2 \equiv 1^{55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}</math>.
== Contoh ==
 
Untuk <math>n=p</math> [[bilangan prima|prima]]
▲Secara umum, mengurangi nilai pangkat dari <math>a</math> pada modulo <math>n</math> (di manadengan <math>a</math> dan <math> n </math> saling koprima), kita cukup bekerja pada modulo <math>\varphi(n)</math> dalam perpangkatan <math>a</math>:
▲:<math>a^{p-1}=1\pmod{p},</math>
karena:jika <math>x \equiv y \pmod{\varphi(pn)=p-1}</math>, maka <math>a^x \equiv a^y \pmod{n}</math>.
 
Itu [[Teorema kecil Fermat]].
▲Teorema Euler menjadi dasar [[RSA|algoritma RSA]], yang banyak digunakan dalam sistem komunikasi di [[Internet]]. Dalam algoritma ini, teorema Euler digunakan bersama sebuah bilangan {{mvar|n}}, yang merupakan hasil kali dari dua [[bilangan prima]] besar,. dan tingkatTingkat keamanan algoritma tersebut didasarkan pada tingkat kesulitan untuk [[faktorisasi bilangan bulat|memfaktorkan]] bilangan {{mvar|n}} tersebut.
 
== Bukti ==
Baris 47:
 
== Hasil bagi Euler ==
'''Hasil bagi Euler''' dari bilangan bulat ''a'' dengan ''n'' didefinisikan sebagai:
 
:<math>q_n(a)=\frac{a^{\varphi(n)}-1}{n}</math>
 
Kasus[[Hasil bagi Fermat]] adalah kasus khusus dari hasil bagi Euler ketika ''n'' adalahberupa bilangan prima disebut [[hasil bagi Fermat]].
 
Bilangan ganjil ''n'' denganyang membagi <math>q_n(2)</math> disebut [[bilangan Wieferich]]. DenganHal tersebut setara dengan mengatakan 2<supmath>2^{{φ}}\varphi(''n'')</sup>} ≡\equiv 1 \ \ (\text{mod}\, ''n''<sup>^2)</supmath>). Sebagai generalisasiperumuman, sebuah bilangan ''n'' yang koprima menjadidengan bilangan bulat positif ''a'', dan ''n'' membagi <math>q_n(a)</math>, disebut bilangan Wieferich (digeneralisasikanyang diperumum) kepada basis ''a''. IniDengan samakata denganlain, mengatakanbilangan itutersebut memenuhi a<supmath>a^{{φ}}\varphi(''n'')</sup>} ≡\equiv 1 \ \ (\text{mod}\, ''n''<sup>^2)</supmath>). ▼
 
Berikut adalah daftar bilangan Wieferich pada basis <math>a</math>, untuk <math>a=1\dots30</math>, yang dicari sampai 1048576.
▲Bilangan ganjil ''n'' dengan <math>q_n(2)</math> disebut [[bilangan Wieferich]]. Dengan 2<sup>{{φ}}(''n'')</sup> ≡ 1 (mod ''n''<sup>2</sup>). Sebagai generalisasi, bilangan ''n'' koprima menjadi bilangan bulat positif ''a'', dan ''n'' membagi <math>q_n(a)</math>, disebut bilangan Wieferich (digeneralisasikan) ke basis ''a''. Ini sama dengan mengatakan itu a<sup>{{φ}}(''n'')</sup> ≡ 1 (mod ''n''<sup>2</sup>).
 
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|<math>a</math>
|''a''
|Bilangan ''n''Wieferich koprimapada ''a'' membagibasis <math>q_n(a)</math> (mencari hingga 1048576)
|Barisan [[OEIS]]
|-
Baris 181 ⟶ 183:
|}
 
Basis terkecil ''b''dari <math>a > 1</math> darisehingga ''<math>n''</math> adalahmerupakan bilangan Wieferich termuat dalam barisan
:2, 5, 8, 7, 7, 17, 18, 15, 26, 7, 3, 17, 19, 19, 26, 31, 38, 53, 28, 7, 19, 3, 28, 17, 57, 19, 80, 19, 14, 107, 115, 63, 118, 65, 18, 53, 18, 69, 19, 7, 51, 19, 19, 3, 26, 63, 53, 17, 18, 57, ... {{OEIS|id=A250206}}
 
Baris 194 ⟶ 196:
 
== Referensi ==
''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalahnya tentang teori bilangan: semua bukti timbaltentang balik''reciprocity'' kuadrat, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal baliktentang ''biquadratic reciprocity'', dan catatan yang tidak diterbitkan.
 
*{{citation
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Teorema_Euler"