Idempoten: Perbedaan antara revisi

'''Idempoten''' adalah sifat beberapa [[Operasi (matematika)|operasi]] tertentu di [[matematika]] dan [[ilmu komputer]] yang dapat diterapkan beberapa kali tanpa memberikan hasil berbeda dengan ketika diterapkan pertama kali. Konsep idempoten muncul dalam beberapa hal di [[aljabar abstrak]] (khususnya, dalam teori proyektor dan ''closure operators'') dan pada [[pemrograman fungsional]] (yang berhubungan dengan sifat ''referential transparency''). Istilah ini diperkenalkan oleh [[Benjamin Peirce]] <ref>Polcino & Sehgal (2002), p. 127.</ref> dalam konteks unsur-unsur di aljabar yang tidak berubah ketika dipangkatkan dengan sebauh bilangan bulat positif, dan secara harfiah berarti "(kemampuan memiliki) pangkat yang sama", dari ''idem'' + ''potence'' ("sama" + "pangkat").

Beriut beberapa contoh objek matematika dan sifat idempoten mereka:

Dalam monoid (''E ^E'', ∘) [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari himpunan ''E'' ke dirinya sendiri dengan [[komposisi fungsi]] ∘, elemen idempoten adalah fungsi {{Nowrap|''f'': ''E'' → ''E''}} yang bersifat {{Nowrap|1=''f'' ∘ ''f'' = ''f''}}, dengan kata lain untuk semua ''x'' di ''E'', {{Nowrap|1=''f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'')}} ([[Citra (matematika)|citra]] dari setiap elemen di ''E'' adalah ''fixed point'' dari ''f'' ). Sebagai contoh, mengambil nilai [[Nilai absolut|absolut]] ''abs''(''x'') <ref>ANotasi moreyang commonlebih notationumum for this isadalah <math>|x|</math>, butnamun itlebih issulit harderdibaca to read whenuntuk expressionsekpresi areyang nestedbertingkat.</ref> dari [[bilangan bulat]] ''x'' adalah fungsi idempoten karena ''abs''( ''abs''(''x'')) = ''abs''(''x'') benar untuk setiap bilangan bulat ''x''.<ref>In factFaktanya, thispersamaan equationini holdsberlaku foruntuk allsemua bilangan [[RationalBilangan numberrasional|rationalrasional]], [[RealBilangan numberriil|real]], andbahkan evenjuga [[ComplexBilangan numberkompleks|complex numberskompleks]], too.</ref> Hal Ini mengartikan ''abs'' [[Komposisi fungsi|∘]] ''abs'' = ''abs'' <ref>ThisIni isadalah anpersamaan equationantar between functionsfungsi. TwoDua functionsfungsi aredikatakan equalsama ifjika theirmereka domainsmemiliki and''domain'' dan [[Citra (matematika)|citra]] rangesyang agreesama, anddan theirnilai outputfungsi valuesmereka agreesama onuntuk theirsemua wholeelemen di ''domain''.</ref> terpenuhi, yakni fungsi ''abs'' adalah elemen idempoten di himpunan semua fungsi [dari bilangan bulat ke bilangan bulat]<ref>This set of functions is formally denoted as [[Integer number|ℤ]]^ℤ.</ref> menurut komposisi fungsi. Oleh karena itu, ''abs'' memenuhi definisi fungsi idempoten di atas. Contoh lainnya termasuk:

Sifat keidempotenan tidak terawetkan <!--bukan alih bahasa yang baik, bukan?-->dalam komposisi fungsi. <ref>If ''f'' and ''g'' commute, i.e. if {{Nowrap|1=''f'' ∘ ''g'' = ''g'' ∘ ''f''}}, then idempotency of both ''f'' and ''g'' implies that of {{Nowrap|''f'' ∘ ''g''}}, since {{Nowrap|1=(''f'' ∘ ''g'') ∘ (''f'' ∘ ''g'') = (''f'' ∘ ''f'') ∘ (''g'' ∘ ''g'') = ''f'' ∘ ''g''}}, using the associativity of composition.</ref> Sebagai contoh, {{Nowrap|1=''f''(''x'') = ''x''}} [[Aritmetika modular|mod]] 3 dan ''g'' (''x'') = max(''x'', 5) adalah dua fungsi idempoten, tetapi {{Nowrap|''f'' ∘ ''g''}} tidak, <ref>e.g.Sebagai contoh, ''f''(''g''(7)) = ''f''(7) = 1, butnamun ''f''(''g''(1)) = ''f''(5) = 2 ≠ 1</ref> meskipun {{Nowrap|''g'' ∘ ''f''}} secara kebetulan idempoten. <ref>alsojuga showingmenunjukkan thatsifat commutation ofkomutatif ''f'' anddan ''g'' isbukan not asebuah [[necessarySyarat conditionperlu (matematika)|syarat perlu]] foragar idempotencysifat preservationidempoten tetap berlaku.</ref> Contoh lain adalah fungsi negasi {{Nowrap|¬}} pada domain Boolean yang tidak idempoten, namun {{Nowrap|¬ ∘ ¬}} idempoten.

Contoh terapan yang dapat ditemui banyak orang dalam kehidupan sehari-hari mereka termasuk tombol pada [[lift]] dan [[Penyeberangan pejalan kaki|tombol penyeberangan]]. <ref>https://web.archive.org/web/20110523081716/http://www.nclabor.com/elevator/geartrac.pdf For example, this design specification includes detailed algorithm for when elevator cars will respond to subsequent calls for service</ref> Aktivasi tombol pertama kali akan mengubah sistem ke status ''meminta'', sampai hingga permintaan ''dipenuhi''. Aktivasi tombol berulang diantara waktu aktivasi awal dan waktu permintaan yang dipenuhi tidak memiliki pengaruh, kecuali sistem dirancang untuk dapat menyesuaikan waktu memenuhi permintaan berdasarkan jumlah aktivasi.