MisalkanMisalnya ''S'' adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] dan • adalah beberapa [[operasi biner]] {{math|1=''S'' × ''S'' → ''S''}}, maka '' S '' dengan • adalah '''monoid''' jika memenuhi dua aksioma berikut:
; Asosiatif: Untukuntuk '' a '', '' b '' dan '' c '' dalam ''S'' padadengan persamaan {{math|1=(''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')}}.
; Elemen identitas: Terdapat elemen ''e'' didalam ''S'' sehingga untuk setiap elemen ''a'' didalam ''S'' padadengan persamaan {{math|1=''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a''}}.
Dengan kata lain, monoid adalah [[semigroupsemigrup]] dengan [[elemen identitas]]. IaMonoid juga dapat dianggapdisebut sebagai [[magma (aljabar)|magma]] dengan asosiasi dan identitas.<ref>Jika ''e''<sub>1</sub> dan ''e''<sub>2</sub> memenuhi persamaan di atasdiatas, lalumaka ''e''<sub>1</sub> = ''e''<sub>1</sub> • ''e''<sub>2</sub> = ''e''<sub>2</sub>.</ref> Untuk alasan ini identitas dianggap sebagai [[Konstanta (matematika)|konstanta]], yaitu Operasioperasi 0-ari (atau nullari). Oleh karena itu, monoid dicirikandiartikan olehsebagai spesifikasi [[Tupelrangkap (matematika)| tiga kali lipatrangkap]] (''S'', • , ''e'').
Bergantung pada konteksnya, simbol untuk operasi biner dapat dihilangkan, sehinggamaka operasi tersebut dilambangkan dengan penjajaran; misalnya, aksioma monoid dapat ditulis sebagai <math>(ab)c = a(bc)</math> dan <math>ea=ae=a</math>. Notasi initersebut tidak menyiratkan bahwa itu adalah angkabilangan yang dikalikan.
Sebuah monoidMonoid setiap elemen memilikimenggunakan [[elemen invers|invers]] adalah [[grup (matematika)|grup]].
== Struktur monoid ==
=== Submonoid ===
'''Submonoid''' dari sebuah monoid {{math|(''M'', •)}} adalah [[subsethimpunan bagian]] ''N'' ofdari ''M'' yang ditutup di bawahdibawah operasi monoid dan berisi elemen identitas ''e'' dari ''M''.{{sfn|Jacobson|2009}}<ref>Beberapa penulis mengabaikan persyaratan bahwa submonoid harus mengandung elemen identitas dari definisinya, hanya mensyaratkan bahwa ia memiliki elemen identitas ''an'', yang dapat dibedakan dari elemen identitas ''M''.</ref> Secara simbolis, ''N'' adalah submonoid dari ''M'' ifjika {{math|''N'' ⊆ ''M''}}, {{math|''x'' • ''y'' ∈ ''N''}} dimana {{math|''x'', ''y'' ∈ ''N''}}, dan {{math|''e'' ∈ ''N''}}. ''N'' dengan demikian monoid di bawahdibawah operasi biner yang diwarisidigunakan dari ''M''.
