Monoid: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|x200px|[[Monoid]] homomorfisme <math>f</math> dari monoid {{math|{{color|#008000|('''N''', +, 0)}}}} ke monoid {{math|{{color|#800000|('''N''', ×, 1)}}}}, didefinisikan dari <math>f(x) = 2^x</math>. IniFungsi tersebut adalah [[Fungsi injektif|injeksi]], tetapi bukan [[Fungsi konjektur|konjektur]].]]

[[Bilangan realriil]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], yang memilikimenggunakan penjumlahanpenembahab dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika) | matriks]] juga merupakan cincingelanggang, di bawahdibawah [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini, sebagai berikut:

di manadimana {{mvar|r}} adalah bilangan realriil, maka {{mvar|f}} adalah homomorfisme gelanggang, karena {{mvar|f}} mempertahankan keduadua penjumlahanpenambahan:

Untuk contoh lain, bukan-nol untuk [[bilangan kompleks]] membentuk [[kelompokgrup (matematika)|kelompokgrup]] di bawahdibawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkandihilangkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[perkalian invers]], yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi <math>f</math> dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan realriil bukan nol dengan

Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai absolutmutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme kelompokgrup, karena mempertahankan perkalian:

Perhatikan bahwa {{math|''f''}} tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan realriil), karena tidak mempertahankantermasuk penambahan:

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme [[monoid]] <math>f</math> dari monoid <math>(\mathbb{N}, +, 0)</math> ke monoid <math>(\mathbb{N}, \times, 1)</math>. Karena nama berbeda dari operasi terkait, propertisifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh <math> f </math> berjumlahdihasilkan sebagai <math>f(x+y) = f(x) \times f(y)</math> anddan <math>f(0) = 1</math>.

Sebuah [[komposisiKomposisi aljabar]] <math> A </math> di atasdiatas bidang <math> F </math> memilikimenggunakan [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.