|
== Sifat ==
Jika <math> n </math> adalah [[bilangan asli]] dan <math> x </math> adalah elemen dari grup abelian <math> G </math> yang ditulis secara aditif, kemudianmaka <math> nx </math> bisa didefinisikan sebagai <math>x + x + \cdots + x</math> (<math>n</math>) dan <math>(-n)x = -(nx)</math>. Dengan cara ini, <math> G </math> menjadisebagai [[modul (matematika) | modul]] di atas [[cincingelanggang (matematika) | cincingelanggang]] <math>\mathbb{Z}</math> dari bilangan bulat. FaktanyaMaka, modul lebih dari <math>\mathbb{Z}</math> dapat diidentifikasikan dengan grup abelian.
Teorema tentang kelompokgrup abelian (yaitu [[modul (matematika) | modul]] di atas [[domain ideal utama]] <math>\mathbb{Z}</math>) sering dapat digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi [[grup abelian yang dihasilkan secara terbatashingga]] yang merupakan spesialisasi dari [[teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama]]. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara terbatashingga, teorema ini menjamintersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai [[jumlah langsung]] dari [[grup torsi]] dan [[grup abelian bebas]]. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak kelompokgrup bentuk yang tak terhinggahingga <math>\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}</math> untuk prima <math> p </math> prime, dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan <math>\mathbb{Z}</math>.
Jika <math>f, g: G \to H</math> adalah dua [[homomorfisme grup]] di antara grup abelian, kemudian jumlah merekasemua <math> f + g </math>, ditentukan oleh <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math>, sekali lagi adalah homomorfisme. (Iniini tidak tentu benar jika <math> H </math> adalah grup non-abelian.). Himpunan <math>\text{Hom}(G,H)</math> dari semua homomorfisme grup dari <math> G </math> hingga <math> H </math> oleh karena itu merupakan grup abelian dalam dirinyaitu sendiri.
Agak mirip dengan [[Dimensi (ruang vektor) | dimensi]] dari [[ruang vektor]], setiap grup abelian memiliki '' [[peringkat grup abelian | peringkat]] ''. Ini didefinisikan sebagai [[bilangan pokok | kardinalitas]] maksimal dari satu himpunan elemen [[bebas linear]] (di atas bilangan bulat) grup.<ref>Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., ''Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality'' ([[Milton Park]], [[Abingdon-on-Thames]] & [[Oxfordshire]]: [[Taylor & Francis]], 2020), [https://books.google.com/books?id=fODaDwAAQBAJ&pg=PT49 pp. 49–50].</ref>{{rp|49–50}} Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan [[bilangan rasional]] memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol [[grup aditif | subkelompoksubgrup aditif]] dari rasio. Di sisi lain, [[grup perkalian]] dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak terhinggahingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan [[bilangan prima]] sebagai basis (inidari hasil dari [[teorema fundamental aritmetika]]).
[[Pusat (teori grup) | Pusat]] <math> Z(G) </math> dari grup <math> G </math> adalah himpunan elemen yang bepergian dengan setiap elemen <math> G </math>. Grup <math> G </math> adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya <math>Z(G)</math>. Pusat dari grup <math> G </math> selalu merupakan [[subgrup karakteristik | karakteristik]] subkelompoksubgrup abelian dari <math> G </math>. Jika grup hasil bagi <math>G/Z(G)</math> grup dengan pusat siklik lalu <math> G </math> adalah abelian.<ref>Rose 2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA48 p. 48].</ref>
== Grup abelian hingga ==
|
